Каков объем шарового сектора, если радиус шара равен 3√2 см, а радиус окружности основания составляет √10см?

Оса

39

Шаровой сектор - это часть шара, ограниченная плоскостью и радиусом шара. Чтобы найти объем шарового сектора, мы должны сначала найти объем всего шара, а затем умножить его на соответствующую часть.

Первым шагом является нахождение объема шара. Объем шара может быть вычислен с помощью следующей формулы:

\[V = \frac{4}{3}\pi r^3\]

где \(V\) - объем, \(\pi\) - число пи, а \(r\) - радиус шара.

В данной задаче, нам даны значения радиусов шара и основания окружности. Радиус шара, \(r\), равен \(3\sqrt{2}\) см, а радиус окружности основания, \(R\), равен \(\sqrt{10}\) см.

Для нахождения объема шара, подставим значение радиуса шара в формулу:

\[V = \frac{4}{3} \pi (3\sqrt{2})^3\]

Дальше нам нужно найти площадь основания сектора. Площадь основания сектора вычисляется с помощью формулы:

\[A = \pi R^2\]

где \(A\) - площадь основания, а \(R\) - радиус окружности основания.

Подставим значение радиуса основания в формулу:

\[A = \pi (\sqrt{10})^2\]

Теперь у нас есть значения объема и площади основания. Чтобы найти объем шарового сектора, мы будем умножать объем шара на отношение площади основания сектора к площади всего основания шара.

Таким образом, формула для нахождения объема шарового сектора будет выглядеть следующим образом:

\[V_{сектора} = \frac{A_{сектора}}{A} \cdot V\]

Подставим значения и вычислим:

\[V_{сектора} = \frac{\pi R^2}{\pi (\sqrt{10})^2} \cdot \frac{4}{3}\pi (3\sqrt{2})^3\]

После упрощения:

\[V_{сектора} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{10}} \cdot \frac{4}{3} \cdot (3)^3\]

Теперь остается только выполнить вычисления:

\[V_{сектора} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{10}} \cdot \frac{4}{3} \cdot 27\sqrt{2}\]

\[V_{сектора} = 36\sqrt{2} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{10}}\]

После упрощения:

\[V_{сектора} = 36 \cdot \frac{2}{\sqrt{5}}\]

\[V_{сектора} = 36 \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\]

\[V_{сектора} = 36 \cdot \frac{2\sqrt{5}}{5}\]

\[V_{сектора} = \frac{72\sqrt{5}}{5}\]

Таким образом, объем шарового сектора равен \(\frac{72\sqrt{5}}{5}\) кубических сантиметров.