Каков объем тела, полученного в результате вращения вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линией y = 8x и графиком

Iskryaschayasya_Feya

37

Хорошо, для решения данной задачи нам потребуется использовать метод цилиндров шарнирного типа. Давайте начнем с создания изображения.

Начнем с графика функции \(y = 8x\) и графика функции \(y = 2x^3\). Строим их на одной координатной плоскости:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & y = 8x & y = 2x^3 \\
\hline
0 & 0 & 0 \\
\hline
1 & 8 & 2 \\
\hline
2 & 16 & 16 \\
\hline
\end{array}
\]

Теперь изобразим область, ограниченную линией \(y = 8x\) и графиком функции \(y = 2x^3\) при \(x \geq 0\):

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & y = 8x & y = 2x^3 \\
\hline
0 & 0 & 0 \\
\hline
1 & 8 & 2 \\
\hline
2 & 16 & 16 \\
\hline
\end{array}
\]

Теперь, чтобы получить объем тела, сформированного вращением этой области вокруг оси абсцисс, мы должны рассмотреть каждую горизонтальную тонкую полоску площади и сложить их все воедино.

Мы можем представить каждую полоску в виде цилиндра, имеющего радиус \(r\) и высоту \(\Delta y\). Радиус \(r\) будет равен \(y = 8x\), а высота \(\Delta y\) будет равна изменению \(y = 2x^3\).

Теперь мы можем записать формулу для объема каждого такого цилиндра как \(\pi r^2 \Delta y = \pi (8x)^2 \Delta y\).

Итак, чтобы найти объем тела, полученного вращением, мы должны проинтегрировать эту формулу от \(y = 0\) до \(y = 16\):

\[V = \pi \int_{0}^{16} (8x)^2 dy\]

Перед тем, как считать этот интеграл, перейдем от переменной \(x\) к переменной \(y\), чтобы наши пределы интегрирования были в терминах \(y\). Мы знаем, что \(y = 8x\), поэтому \(x = \frac{y}{8}\). Заменив в нашем интеграле, получим:

\[V = \pi \int_{0}^{16} \left(8\left(\frac{y}{8}\right)\right)^2 dy = \pi \int_{0}^{16} y^2 dy\]

Теперь мы можем выполнить интегрирование:

\[V = \pi \left[\frac{1}{3}y^3\right]_{0}^{16} = \pi \left(\frac{1}{3}(16)^3 - \frac{1}{3}(0)^3\right) = \pi \cdot \frac{1}{3} \cdot 4096 \approx 4296.73\]

Таким образом, объем тела, полученного вращением вокруг оси абсцисс, равен приблизительно \(4296.73\) (единицы объема).

Вот и все! Надеюсь, это помогло вам понять, как решить данную задачу. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.