Каков объем треугольной пирамиды, у которой радиус описанного шара составляет 3 см и боковое ребро образует угол

Aleksandrovich

48

Для решения этой задачи, давайте воспользуемся знаниями об объеме пирамиды. Объем пирамиды можно вычислить по формуле:

\[ V = \frac{1}{3} \times S_{\text{основания}} \times h \]

где \( S_{\text{основания}} \) - площадь основания пирамиды, а \( h \) - высота пирамиды.

Основание треугольной пирамиды - это треугольник. Зная радиус описанного шара (3 см), можем найти длины сторон треугольника:


Можно использовать следующие соотношения в треугольнике:

1. Радиус описанного шара равен половине диагонали правильного треугольника, вписанного в этот шар.
2. В правильном треугольнике все стороны равны.
3. Зная длину стороны треугольника, можно найти его площадь по формуле:


\[ S_{\text{треугольника}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2 \],

где \( a \) - длина стороны треугольника.


Определим длину стороны треугольника, зная, что радиус описанного шара равен 3 см:

\[ \frac{a}{2} = 3 \]

\[ a = 6 \]

Теперь найдем площадь треугольника:

\[ S_{\text{треугольника}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 6^2 = \frac{9\sqrt{3}}{2} \]

Теперь рассчитаем объем пирамиды:

\[ V = \frac{1}{3} \times \frac{9\sqrt{3}}{2} \times h \]

Также в условии сказано, что боковое ребро образует угол 60° с высотой. Это означает, что высота является высотой треугольника и ее можно найти по формуле:

\[ h = a \times \sin(60°) \]

\[ h = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \]

Теперь подставим значение высоты в формулу объема:

\[ V = \frac{1}{3} \times \frac{9\sqrt{3}}{2} \times 3\sqrt{3} = \frac{81}{4} \sqrt{3} \]

Таким образом, объем треугольной пирамиды составляет \( \frac{81}{4} \sqrt{3} \) кубических сантиметров.