Каков объем усеченного конуса с основаниями равными 13 см и 15 см, а площадью боковой поверхности равной 117 пи см^2?

Fedor

69

Для решения этой задачи, давайте воспользуемся формулами для объема и площади боковой поверхности конуса.

Объем усеченного конуса можно найти, используя формулу:

\[ V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + r^2 + Rr) \]

где \( V \) - объем, \( h \) - высота конуса, \( R \) - радиус большего основания, \( r \) - радиус меньшего основания.

Также, площадь боковой поверхности можно найти, используя формулу:

\[ S = \pi (R + r) l \]

где \( S \) - площадь боковой поверхности, \( l \) - образующая (наклонная высота) конуса.

В данной задаче нам известны радиусы оснований конуса \( R = 13 \) см и \( r = 15 \) см, а также площадь боковой поверхности \( S = 117\pi \) см\(^2\).

Мы знаем формулу для площади боковой поверхности конуса, поэтому можем выразить образующую \( l \) через известные величины:

\[ l = \frac{S}{\pi (R + r)} \]

Подставим известные значения:

\[ l = \frac{117\pi}{\pi (13 + 15)} = \frac{117}{28} \] см.

Теперь мы можем рассчитать высоту конуса \( h \) с помощью теоремы Пифагора, так как \( h \), радиус большего основания \( R \) и образующая \( l \) образуют прямоугольный треугольник:

\[ h = \sqrt{l^2 - (R - r)^2} \]

Подставим известные значения:

\[ h = \sqrt{\left(\frac{117}{28}\right)^2 - (13 - 15)^2} = \sqrt{\frac{13689}{784} - 4} = \sqrt{\frac{13689 - 3136}{784}} = \sqrt{\frac{10553}{784}} \approx 3 \] см.

Таким образом, высота конуса \( h \approx 3 \) см.

Теперь, используя известные значения радиусов оснований \( R \), \( r \) и найденную высоту \( h \), мы можем рассчитать объем конуса:

\[ V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + r^2 + Rr) \]

Подставим известные значения:

\[ V = \frac{1}{3} \pi \cdot 3 \cdot (13^2 + 15^2 + 13 \cdot 15) = \frac{1}{3} \pi \cdot 3 \cdot (169 + 225 + 195) \] см\(^3\).

Выполняем вычисления:

\[ V = \frac{1}{3} \pi \cdot 3 \cdot 589 = \pi \cdot 589 \] см\(^3\).

Таким образом, объем усеченного конуса составляет \( \pi \cdot 589 \) см\(^3\).

Округлим ответ, получим:

\[ V \approx 1854 \] см\(^3\).