Каков объем усеченной четырехугольной пирамиды, у которой радиусы окружностей описанных около оснований равны √2

Лев_8790

66

Чтобы решить эту задачу, мы можем воспользоваться формулой для объема усеченной пирамиды:

\[V = \frac{h}{3}(A_1 + A_2 + \sqrt{A_1A_2})\]

где \(V\) - объем пирамиды, \(h\) - высота пирамиды, \(A_1\) и \(A_2\) - площади оснований пирамиды.

Для начала нам понадобится найти высоту пирамиды. Мы можем использовать теорему Пифагора для получения значения высоты. Рассмотрим треугольник, образованный половиной ребра пирамиды, радиусом окружности \(2\sqrt{2}\) и диагональю основания пирамиды. Этот треугольник будет являться прямоугольным.

Мы знаем, что угол между боковым ребром и плоскостью основания составляет 45 градусов. Таким образом, у нас есть прямоугольный треугольник с гипотенузой \(2\sqrt{2}\), одним катетом \(r = \sqrt{2}\) и вторым катетом \(h\). Расчет выглядит следующим образом:

\[\sqrt{2}^2 + h^2 = (2\sqrt{2})^2\]
\[2 + h^2 = 8\]
\[h^2 = 6\]
\[h = \sqrt{6}\]

Теперь у нас есть значения высоты \(h\) и радиусов \(r_1 = \sqrt{2}\) и \(r_2 = 2\sqrt{2}\).

Осталось найти площади оснований пирамиды \(A_1\) и \(A_2\). Площадь окружности можно найти, используя формулу:

\[A = \pi r^2\]

Таким образом, площади оснований пирамиды будут:

\[A_1 = \pi (\sqrt{2})^2 = 2\pi\]
\[A_2 = \pi (2\sqrt{2})^2 = 8\pi\]

Теперь мы можем подставить все значения в формулу для объема пирамиды:

\[V = \frac{\sqrt{6}}{3}(2\pi + 8\pi + \sqrt{2\pi \cdot 8\pi})\]

\[V = \frac{\sqrt{6}}{3}(10\pi + \sqrt{16\pi^2})\]

\[V = \frac{\sqrt{6}}{3}(10\pi + 4\pi)\]

\[V = \frac{\sqrt{6}}{3}(14\pi)\]

\[V = \frac{14\sqrt{6}\pi}{3}\]

Таким образом, объем усеченной четырехугольной пирамиды составляет \(\frac{14\sqrt{6}\pi}{3}\) единиц объема.