Каков объем усеченной пирамиды с прямоугольными треугольниками углом 30°? Гипотенузы треугольников имеют длину 6 и

Алиса

18

Для начала, нам потребуется формула для вычисления объема усеченной пирамиды с прямоугольными треугольниками. Формула выглядит следующим образом:

\[ V = \frac{1}{3}h(A_1+A_2+\sqrt{A_1A_2}) \]

где \( V \) - объем пирамиды, \( h \) - высота пирамиды, \( A_1 \) и \( A_2 \) - площади оснований.

Итак, чтобы вычислить объем усеченной пирамиды, нам нужно знать значения \( h \), \( A_1 \) и \( A_2 \). Дано, что высота пирамиды равна \( h \), поэтому остается найти площади оснований, \( A_1 \) и \( A_2 \).

Для вычисления площади прямоугольного треугольника, мы можем использовать формулу:

\[ A = \frac{1}{2}ab \]

где \( a \) и \( b \) - длины катетов прямоугольного треугольника.

Данные в задаче говорят, что гипотенузы треугольников имеют длину 6 и 4. Для каждого треугольника, мы можем использовать формулу для вычисления площади основания:

Для первого треугольника с гипотенузой 6 и углом 30°:

\[ a = \frac{{6 \cdot \cos(30)}}{2} = \frac{{6 \cdot \frac{{\sqrt{3}}}{2}}}{2} = \frac{{6\sqrt{3}}}{4} = \frac{{3\sqrt{3}}}{2} \]

\[ b = \frac{{6 \cdot \sin(30)}}{2} = \frac{{6 \cdot \frac{1}{2}}}{2} = \frac{{6}}{4} = \frac{{3}}{2} \]

\[ A_1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{{3\sqrt{3}}}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{{9\sqrt{3}}}{4} \]

Аналогично, для второго треугольника с гипотенузой 4 и углом 30°:

\[ a = \frac{{4 \cdot \cos(30)}}{2} = \frac{{4 \cdot \frac{{\sqrt{3}}}{2}}}{2} = \frac{{4\sqrt{3}}}{4} = \frac{{\sqrt{3}}}{2} \]

\[ b = \frac{{4 \cdot \sin(30)}}{2} = \frac{{4 \cdot \frac{1}{2}}}{2} = \frac{{4}}{4} = 1 \]

\[ A_2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{{\sqrt{3}}}{2} \cdot 1 = \frac{{\sqrt{3}}}{4} \]

Теперь, когда у нас есть значения \( h \), \( A_1 \) и \( A_2 \), мы можем подставить их в формулу, чтобы найти объем усеченной пирамиды.

\[ V = \frac{1}{3}h(A_1+A_2+\sqrt{A_1A_2}) \]

Мы можем использовать данное уравнение, чтобы подставить значения переменных и вычислить итоговый ответ.