Каков облик графика функции f(x)=x²-6x+5? Найдите промежуток, на котором функция возрастает. Какое множество решений

Oblako

52

Для начала, давайте построим график функции \(f(x) = x^2 - 6x + 5\), чтобы понять ее облик.

Для этого, мы можем привести функцию к каноническому виду, который имеет вид \(f(x) = a(x - h)^2 + k\), где \((h, k)\) - координаты вершины параболы.

Для функции \(f(x) = x^2 - 6x + 5\), мы можем применить метод завершения квадрата или использовать формулы характеристик.

Воспользуемся формулами характеристик:

* Вершина параболы: \(h = -\frac{b}{2a}\) и \(k = f(h)\).

В нашем случае, \(a = 1\), \(b = -6\):

\(h = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3\)

\(k = f(3) = 3^2 - 6 \cdot 3 + 5 = 9 - 18 + 5 = -4\)

Таким образом, вершина параболы находится в точке \((3, -4)\).

Теперь, когда у нас есть вершина параболы, мы можем определить, каким образом она будет выглядеть.

1. Функция \(f(x) = x^2 - 6x + 5\) представляет собой параболу, которая открывается вверх, так как коэффициент при \(x^2\) положительный.

2. Вершина параболы находится в точке \((3, -4)\). Давайте обозначим ее на графике.

3. Чтобы нарисовать параболу, мы можем выбрать несколько точек слева и справа от вершины и подставить их в функцию \(f(x)\), чтобы получить значения \(y\)-координат.

Давайте выберем несколько значений \(x\) и найдем соответствующие значения \(y\):

Подставляем \(x = 0\): \(f(0) = 0^2 - 6 \cdot 0 + 5 = 5\)

Подставляем \(x = 1\): \(f(1) = 1^2 - 6 \cdot 1 + 5 = 0\)

Подставляем \(x = 2\): \(f(2) = 2^2 - 6 \cdot 2 + 5 = -1\)

Подставляем \(x = 4\): \(f(4) = 4^2 - 6 \cdot 4 + 5 = 5\)

Подставляем \(x = 5\): \(f(5) = 5^2 - 6 \cdot 5 + 5 = 0\)

Теперь мы можем изобразить эти точки на графике и соединить их плавной кривой, получив облик функции \(f(x) = x^2 - 6x + 5\). Это будет парабола, открывающаяся вверх и с вершиной в точке \((3, -4)\).

Теперь давайте определим промежутки, на которых функция \(f(x) = x^2 - 6x + 5\) возрастает.

Функция возрастает, когда ее производная положительна. Давайте найдем производную функции \(f"(x)\):

\(f"(x) = 2x - 6\)

Устанавливаем \(f"(x) > 0\) и решаем неравенство:

\(2x - 6 > 0\)

Добавляем 6 к обеим сторонам:

\(2x > 6\)

Делим обе стороны на 2:

\(x > 3\)

Таким образом, функция \(f(x) = x^2 - 6x + 5\) возрастает при \(x > 3\). Мы можем отметить этот промежуток на графике.

Теперь давайте рассмотрим неравенство \(x^2 - 6x + 5 \geq 0\) и определим множество его решений, основываясь на графике.

Чтобы найти значения \(x\), при которых неравенство выполнено, мы должны найти интервалы, на которых график функции \(f(x) = x^2 - 6x + 5\) находится выше или равен оси \(x\).

На графике мы видим, что парабола находится выше оси \(x\) между двумя корнями. Давайте найдем эти корни, решив уравнение \(x^2 - 6x + 5 = 0\).

Мы можем решить это уравнение, используя формулу дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac\]
\[D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16\]

Так как дискриминант \(D\) положительный, у уравнения есть два различных действительных корня.

Формула для нахождения корней уравнения:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

\[x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1}\]
\[x = \frac{6 \pm 4}{2}\]

\[x_1 = \frac{6 + 4}{2} = 5\]
\[x_2 = \frac{6 - 4}{2} = 1\]

Таким образом, корни уравнения \(x^2 - 6x + 5 = 0\) равны \(x_1 = 5\) и \(x_2 = 1\).

Теперь мы знаем, что ось \(x\) пересекает параболу в точках \(x_1 = 5\) и \(x_2 = 1\).

Теперь давайте рассмотрим каждый из интервалов между корнями и определим, где функция \(f(x) = x^2 - 6x + 5\) находится выше или равна оси \(x\).

Между корнями, функция \(f(x) = x^2 - 6x + 5\) находится выше оси \(x\). Это значит, что при \(x\) в интервале \((1, 5)\), неравенство \(x^2 - 6x + 5 \geq 0\) выполняется.

Таким образом, множество решений неравенства \(x^2 - 6x + 5 \geq 0\) основываясь на графике, это интервал \((1, 5)\).

Надеюсь, эти подробные объяснения и решения помогли вам понять облик графика функции \(f(x) = x^2 - 6x + 5\), определить промежуток, на котором функция возрастает, и найти множество решений неравенства \(x^2 - 6x + 5 \geq 0\) на основе графика. Если у вас возникли дополнительные вопросы или вам нужно что-то еще, пожалуйста, свяжитесь со мной. Я всегда готов помочь.