Каков остаток от деления (1+а+а2+а3+а4) на 15, если остаток от деления a на 15 равен a%15?

Солнечный_Смайл

2

Чтобы решить эту задачу, нам нужно найти остаток от деления выражения \((1+a+a^2+a^3+a^4)\) на 15, при условии, что остаток от деления \(a\) на 15 равен \(a\%15\).

Для начала, давайте упростим данное выражение:

\[(1+a+a^2+a^3+a^4)\]

Мы можем заметить, что это геометрическая прогрессия, где первый член равен 1, а знаменатель равен \(a\). Используя формулу суммы геометрической прогрессии, мы можем найти сумму всех этих членов. Формула для суммы геометрической прогрессии выглядит следующим образом:

\[S = \frac{{a^n - 1}}{{a - 1}}\]

где \(S\) - сумма прогрессии, \(n\) - количество членов.

В данном случае, у нас есть 5 членов прогрессии, поэтому \(n = 5\). Теперь мы можем записать сумму как:

\[S = \frac{{a^5 - 1}}{{a - 1}}\]

Теперь, зная сумму прогрессии, нам нужно найти остаток от деления этой суммы на 15. Для этого применим операцию остатка от деления к полученной сумме:

\[(1+a+a^2+a^3+a^4)\%\ 15 = \left(\frac{{a^5 - 1}}{{a - 1}}\right)\%\ 15\]

Теперь вспомним условие задачи, которое говорит, что остаток от деления \(a\) на 15 равен \(a\%15\). Мы можем заменить каждое значение \(a\) в выражении на \(a\%15\):

\[\left(\frac{{(a\%15)^5 - 1}}{{(a\%15) - 1}}\right)\%\ 15\]

Теперь осталось только найти значение данного выражения, чтобы получить ответ на задачу. Однако, конкретное значение будет зависеть от значения \(a\). Если вам известно значение \(a\), то вместо символа \(a\) вы можете подставить это значение и вычислить результат. Если же вам неизвестно значение \(a\), то выражение будет оставаться в виде:

\[\left(\frac{{(a\%15)^5 - 1}}{{(a\%15) - 1}}\right)\%\ 15\]

Пожалуйста, учтите, что для различных значений \(a\) остаток от деления будет разным, поэтому может потребоваться вычислить значение для каждого конкретного \(a\), если это требуется в задаче.