Каков остаток от деления многочлена p(x) на трехчлен X^2-2x-8, если равенство равно 2х-3? Каково значение выражения

Дмитриевич

25

Для решения данной задачи мы будем использовать метод деления многочленов с остатком (алгоритм Даля).

Для начала, напишем равенство в следующем виде: \(p(x) = (x^2-2x-8) \cdot q(x) + r(x)\), где \(q(x)\) - частное от деления, а \(r(x)\) - остаток.

Теперь подставим значение \(2x-3\) вместо \(p(x)\):
\[2x-3 = (x^2-2x-8) \cdot q(x) + r(x)\]

Для определения остатка от деления, найдем значение многочлена \(2x-3\) при \(x = 4\):
\[2 \cdot 4 - 3 = 8 - 3 = 5\]

Теперь подставим значение \(p(-2)\) вместо \(p(x)\):
\[p(-2) = (-2)^2 - 2 \cdot (-2) - 8 = 4 + 4 - 8 = 0\]

Таким образом, значение выражения \(p(4)-2p(-2)\) можно вычислить:
\[p(4)-2p(-2) = 5 - 2 \cdot 0 = 5\]

Ответ: остаток от деления многочлена \(p(x)\) на трехчлен \(X^2-2x-8\), если равенство равно \(2x-3\), равен 5. Значение выражения \(p(4)-2p(-2)\) также равно 5.