Каков острый угол между диагоналями прямоугольника, если перпендикуляр, проведенный из вершины прямоугольника

Moroznyy_Polet

66

Чтобы найти острый угол между диагоналями прямоугольника, мы можем использовать свойство пропорциональности углов в треугольнике. Давайте рассмотрим следующую схему для ясности:

A_____________B
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
|________________|
D C

Пусть точка D - вершина прямоугольника, из которой проведен перпендикуляр на диагональ AB. Диагонали прямоугольника задают отрезки AC и BD.

По условию задачи, перпендикуляр делит прямой угол (т.е. угол ABC) в пропорции 8:7. Обозначим искомый острый угол между диагоналями прямоугольника как x.

Таким образом, мы имеем следующие соотношения:

\( \frac{{\angle ADB}}{{\angle ABC}} = \frac{8}{7} \) (1)

\( \angle ADB + \angle ABC = 180^\circ \) (2)

Используя (1), мы можем выразить \( \angle ADB \) через \( \angle ABC \):

\( \angle ADB = \frac{8}{7} \cdot \angle ABC \) (3)

Подставим (3) в (2):

\( \frac{8}{7} \cdot \angle ABC + \angle ABC = 180^\circ \)

Упростим выражение:

\( \frac{15}{7} \cdot \angle ABC = 180^\circ \)

Теперь найдем \( \angle ABC \), разделив оба выражения на \( \frac{15}{7} \):

\( \angle ABC = \frac{{180^\circ}}{{15/7}} \)

Выполняя вычисления, получаем:

\( \angle ABC = \frac{{1260^\circ}}{{15}} = 84^\circ \)

Таким образом, острый угол между диагоналями прямоугольника равен 84 градусам (°).