Какова площадь поверхности тела вращения, получаемого вращением равнобедренного треугольника с углом при вершине

Yaksob

33

Для решения данной задачи нам потребуется использовать формулу для площади поверхности тела вращения, а именно интеграл. Позвольте мне разобрать эту задачу пошагово.

Шаг 1: Найдем длину дуги, по которой вращается равнобедренный треугольник. По условию задачи, высота треугольника является радиусом окружности, по которой треугольник вращается. Высота треугольника равна а, а значит, радиус окружности также равен а.

Шаг 2: Найдем длину дуги окружности, по которой вращается треугольник. Длина дуги окружности равна произведению длины окружности на отношение угла поворота к 360°. Угол поворота равен 2π, так как равнобедренный треугольник вращается на 360°, что соответствует 2π радиан. Длина окружности равна 2πr, где r - радиус окружности.

Таким образом, длина дуги окружности равна 2π * а.

Шаг 3: Теперь мы можем найти длину боковой стороны треугольника. Для равнобедренного треугольника боковая сторона равна квадратному корню из суммы квадратов половины основания и высоты. Поскольку это равнобедренный треугольник, основание равно а, и поэтому боковая сторона равна квадратному корню из 2 * а².

Шаг 4: Теперь мы можем найти площадь поверхности тела вращения. Для этого используем следующую формулу интеграла:

\[ S = 2π \int_0^a y \sqrt{1 + (y")^2} dx \]

Где y - функция, задающая форму тела вращения в проекции на ось Ox, а y" - производная функции y по x.

Так как мы вращаем треугольник вокруг оси, параллельной его основанию, форма тела вращения будет представлять собой половину окружности с радиусом, равным а.

Шаг 5: Заменяем y в формуле интеграла на функцию, задающую форму половины окружности. Функция половины окружности задается уравнением:

\[ y = \sqrt{a^2 - x^2} \]

где x - переменная, обозначающая положение точки на оси Ox.

Шаг 6: Найдем производную функции y по x:

\[ y" = \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{-x}}{{\sqrt{a^2 - x^2}}} \]

Шаг 7: Подставляем значения y и y" в формулу интеграла и решаем полученный интеграл:

\[ S = 2π \int_0^a \sqrt{a^2 - x^2} \sqrt{1 + \left(\frac{{-x}}{{\sqrt{a^2 - x^2}}}\right)^2} dx \]

Шаг 8: Сокращаем и упрощаем выражение внутри интеграла:

\[ S = 2π \int_0^a \sqrt{a^2 - x^2} \sqrt{1 + \frac{{x^2}}{{a^2 - x^2}}} dx \]

Шаг 9: Вычисляем интеграл:

\[ S = 2π \int_0^a \sqrt{a^2 - x^2} \sqrt{\frac{{a^2 - x^2 + x^2}}{{a^2 - x^2}}} dx \]

\[ S = 2π \int_0^a \sqrt{a^2 - x^2} \sqrt{\frac{{a^2}}{{a^2 - x^2}}} dx \]

\[ S = 2π \int_0^a \sqrt{a^2} dx \]

\[ S = 2π \int_0^a a dx \]

\[ S = 2π a \int_0^a 1 dx \]

\[ S = 2π a [x]_0^a \]

\[ S = 2π a [a - 0] \]

\[ S = 2π a^2 \]

Таким образом, площадь поверхности тела вращения, получаемого вращением равнобедренного треугольника с углом при вершине 2а вокруг прямой, параллельной его основанию и проходящей через его вершину, равна \(2π a^2\).