Каков периметр четырехугольника, полученного из соединения середин сторон вписанного квадрата радиусом 6 в окружность?

Сумасшедший_Рейнджер

16

Чтобы решить данную задачу, нам потребуется знание некоторых свойств и формул, связанных с окружностями и вписанными фигурами.

Дадим обозначения для удобства. Пусть сторона вписанного квадрата равна \(a\), а радиус окружности равен \(r\). Тогда, чтобы найти периметр четырехугольника, полученного из соединения середин сторон вписанного квадрата в окружность, мы можем воспользоваться следующими шагами:

Шаг 1: Найдем длину стороны вписанного квадрата. Здесь нам понадобятся свойства вписанного квадрата. Поскольку радиус окружности равен 6, то диагональ вписанного квадрата будет равна двум радиусам, то есть \(2r\). По свойствам квадрата, диагональ квадрата равна \(a\sqrt{2}\). Таким образом, мы получаем уравнение \(a\sqrt{2} = 2r\) для нахождения \(a\). Разрешим его относительно \(a\):

\[
a = \frac{2r}{\sqrt{2}}
\]

Подставим значение \(r = 6\) в уравнение и найдем \(a\):

\[
a = \frac{2 \cdot 6}{\sqrt{2}} = \frac{12}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{2}
\]

Шаг 2: Теперь, когда мы знаем длину стороны вписанного квадрата (\(a\)), мы можем найти длину стороны получившегося четырехугольника. Для этого нужно пройти половину обхвата квадрата, а затем окружность с радиусом \(r\). Обхват квадрата равен \(4a\), а обхват окружности равен \(2\pi r\). Таким образом, периметр четырехугольника будет:

\[
P = \frac{1}{2}(4a + 2\pi r)
\]

Подставим значения \(a = 6\sqrt{2}\) и \(r = 6\) в формулу и вычислим периметр:

\[
P = \frac{1}{2}(4 \cdot 6\sqrt{2} + 2\pi \cdot 6) = \frac{1}{2}(24\sqrt{2} + 12\pi) = 12\sqrt{2} + 6\pi
\]

Таким образом, периметр четырехугольника, полученного из соединения середин сторон вписанного квадрата радиусом 6 в окружность, равен \(12\sqrt{2} + 6\pi\).