Каков периметр квадрата, если периметр четырехугольника, вершины которого являются серединами сторон квадрата, равен

Вечерняя_Звезда

68

Для решения данной задачи, давайте разберемся с основными понятиями. Периметр - это сумма длин всех сторон фигуры. Квадрат - это четырехугольник, у которого все стороны равны друг другу.

Дано: периметр четырехугольника, вершины которого являются серединами сторон квадрата, равен 11 корень из 2.

На рисунке ниже представлена ситуация, где квадрат ABCD имеет стороны соответственно AB, BC, CD, DA, а точки E, F, G и H являются серединами сторон квадрата.

\[ А \_\_\_\_ B \]
\[ | E \_ F | \]
\[ D \_\_\_\_ C \]

Чтобы найти периметр квадрата, нужно найти длину одной его стороны. Для этого нам понадобится использовать свойство, что периметр четырехугольника равен 11 корень из 2.

Периметр четырехугольника ABFG равен сумме длин его сторон: AB + BF + FG + GA.

Согласно условию задачи, вершины четырехугольника ABFG являются серединами сторон квадрата ABCD. Это означает, что длины сторон квадрата равны удвоенным длинам сторон четырехугольника ABFG.

Таким образом, периметр четырехугольника ABFG равен \(2 \cdot (AB + BF + FG + GA)\).

По условию, периметр четырехугольника ABFG равен 11 корень из 2. Подставляя это значение, получим:

\(2 \cdot (AB + BF + FG + GA) = 11 \sqrt{2}\).

Для нахождения периметра квадрата ABCD, надо найти длину любой его стороны, то есть значение выражения \(AB + BF + FG + GA\).

Теперь давайте решим данное уравнение для нахождения значения периметра квадрата.

\[2 \cdot (AB + BF + FG + GA) = 11 \sqrt{2}\]

Раскрывая скобки получаем:

\[2AB + 2BF + 2FG + 2GA = 11 \sqrt{2}\]

Выразим полученное уравнение относительно суммы сторон квадрата:

\[AB + BF + FG + GA = \frac{11 \sqrt{2}}{2}\]

Таким образом, сумма сторон квадрата равна \(\frac{11 \sqrt{2}}{2}\).

Периметр квадрата равен четырем его сторонам, поэтому периметр можно выразить как:

\[
4 \cdot (\frac{11 \sqrt{2}}{2})
\]

Упрощая данное выражение, получаем:

\[
2 \cdot 11 \sqrt{2} = 22 \sqrt{2}
\]

Итак, периметр квадрата равен \(22 \sqrt{2}\).

Ниже представлен рисунок с пояснением решения:

  A _____ B

   |    |

   |    |

   E____F

C       D

Таким образом, периметр квадрата, заданного условием, равен \(22 \sqrt{2}\).