Каков периметр образованного вогнутого многоугольника из коротких диагоналей правильного шестиугольника (зеленых сторон

Кедр

45

Для того чтобы найти периметр вогнутого многоугольника, образованного короткими диагоналями правильного шестиугольника, нам понадобятся некоторые геометрические знания и свойства фигур. Давайте разберемся пошагово.

1. Начнем с построения правильного шестиугольника. Правильный шестиугольник - это многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны 120 градусов.

2. Отметим длину стороны правильного шестиугольника. Обозначим ее как \(a\).

3. Теперь построим короткие диагонали. Короткие диагонали - это отрезки, соединяющие вершины правильного шестиугольника, не являющиеся его сторонами. Вогнутый многоугольник образуется из этих диагоналей.

4. Заметим, что многоугольник, образованный короткими диагоналями правильного шестиугольника, будет тоже являться правильным и вписанным в окружность. Угол между любыми двумя диагоналями будет равен 60 градусам.

5. Посчитаем количество диагоналей в правильном шестиугольнике. В правильном шестиугольнике каждая вершина соединена с пятью другими вершинами диагоналями. Таким образом, у нас будет шесть диагоналей в шестиугольнике.

6. Так как периметр - это сумма длин всех сторон многоугольника, нам нужно посчитать длину каждой диагонали и просуммировать их.

7. Чтобы найти длину диагонали, воспользуемся теоремой косинусов. В прямоугольном треугольнике, образованном диагональю и двумя сторонами шестиугольника, длина диагонали \(d\) связана с длиной стороны \(a\) следующим образом:

\[
d^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(60^\circ)
\]

8. Выполним вычисления и найдем длину диагонали \(d\):

\[
d^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(60^\circ)
\]

\[
d^2 = 2a^2 - 2a^2 \cdot \cos(60^\circ)
\]

9. Зная длину стороны шестиугольника \(a\), можем выразить длину диагонали \(d\) в терминах \(a\):

\[
d = \sqrt{2a^2 - 2a^2 \cdot \cos(60^\circ)}
\]

10. Теперь просуммируем все диагонали, чтобы найти периметр. Для правильного шестиугольника у нас есть шесть диагоналей.

\[
\text{Периметр} = 6d
\]

11. Подставим значение \(d\):

\[
\text{Периметр} = 6 \cdot \sqrt{2a^2 - 2a^2 \cdot \cos(60^\circ)}
\]

Таким образом, периметр вогнутого многоугольника, образованного короткими диагоналями правильного шестиугольника, равен \(6 \cdot \sqrt{2a^2 - 2a^2 \cdot \cos(60^\circ)}\).