Каков периметр правильного пятиугольника, который вписан в окружность, если периметр квадрата описанного около этой

Kobra

33

Для решения этой задачи нам потребуется знание о свойствах фигур, вписанных в окружности, и квадратов, описанных вокруг окружности.

Правильный пятиугольник – это пятиугольник, у которого все стороны равны, а все углы равны 108 градусам.

Периметр квадрата описанного около данной окружности равен длине стороны квадрата, умноженной на 4. Обозначим сторону квадрата через \(a\).

Так как пятиугольник вписан в окружность, то каждая его сторона является хордой окружности. Периметр пятиугольника можно найти, сложив длины всех его сторон.

Каждая сторона пятиугольника расположена между двумя радиусами окружности, и служит опорным отрезком для соответственных радиусов. Из свойств пятиугольника, вписанного в окружность, следует, что эти радиусы являются биссектрисами соответствующих углов пятиугольника.

Так как пятиугольник правильный, то каждый из его углов равен 108 градусам. Из свойств биссектрисы следует, что она делит соответствующий угол пополам.

Таким образом, каждый из внутренних углов пятиугольника равен половине суммы двух углов вписанного правильного пятиугольника, то есть 54 градуса.

Используя свойства геометрических фигур, мы можем построить прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза – это радиус окружности, а одна из катетов – половина стороны пятиугольника.

Таким образом, мы можем применить тригонометрические соотношения для нахождения длины половины стороны пятиугольника.

По применению формулы синуса к прямоугольному треугольнику, у которого угол, противолежащий половине стороны пятиугольника, равен 54 градусам, а противолежащий катет равен радиусу окружности, получаем следующее:

\[\sin(54) = \frac{{\frac{a}{2}}}{{R}}\]

где \(R\) – радиус окружности.

Решив это уравнение относительно \(\frac{a}{2}\), получаем:

\[\frac{a}{2} = R \cdot \sin(54)\]

Теперь мы можем найти длину стороны квадрата, описанного около данной окружности:

\[a = R \cdot \sin(54) \cdot 2\]

Так как периметр пятиугольника равен сумме длин всех его сторон, мы можем выразить периметр, зная длину одной стороны пятиугольника:

\[P_{\text{пятиугольника}} = 5 \cdot a\]

Таким образом, периметр правильного пятиугольника, который вписан в окружность, складывается из пяти сторон равной длины \(a\), и он равен:

\[P_{\text{пятиугольника}} = 5 \cdot R \cdot \sin(54) \cdot 2\]