Каков периметр правильного шестиугольника, описанного около окружности, если периметр правильного треугольника

Заблудший_Астронавт

29

Для решения этой задачи нам понадобится некоторая информация о свойствах правильного шестиугольника и правильного треугольника.

Правильный треугольник - это треугольник, у которого все стороны и углы равны. Периметр правильного треугольника можно выразить как сумму длин его сторон.
У правильного шестиугольника также все стороны и углы равны, но у него шесть сторон, поэтому чтобы найти его периметр, мы должны знать длину одной из его сторон.

Так как задача говорит о том, что правильный треугольник вписан в окружность, то у него каждая сторона является радиусом этой окружности. Давайте обозначим длину одной стороны правильного треугольника как \(a\).

Периметр правильного треугольника будет равен \(3a\), поскольку у треугольника три равные стороны.

Теперь нам нужно найти периметр правильного шестиугольника, описанного около этой же окружности.

У правильного шестиугольника также есть радиус, который является расстоянием от его центра до любой из его вершин. Чтобы найти радиус шестиугольника, нам понадобится знание радиуса окружности, в которую он вписан.

Радиус правильного шестиугольника равен радиусу описанной окружности. Обозначим этот радиус как \(R\).

Теперь мы знаем, что в равностороннем треугольнике со стороной \(a\) и радиусом \(R\) существует следующее соотношение:

\[R = \frac{a}{\sqrt{3}}\]

(это можно увидеть, применяя геометрию и тригонометрию в равностороннем треугольнике).

Итак, у нас есть соотношение между радиусом описанной окружности \(R\) и стороной вписанного треугольника \(a\).

Теперь мы можем найти периметр шестиугольника. Поскольку у шестиугольника шесть равных сторон длиной \(R\), периметр шестиугольника будет:

\[P = 6R\]

\[P = 6 \cdot \frac{a}{\sqrt{3}}\]

Окончательный ответ: периметр правильного шестиугольника, описанного около окружности, равен \(\frac{6a}{\sqrt{3}}\).