Каков периметр прямоугольника АВСD, если биссектриса угла C пересекает сторону AD в точке N, где AN = ND = 11 см? Ответ

Volshebnik

22

Для решения этой задачи нам потребуется использовать свойства прямоугольников и биссектрис углов.

По свойству прямоугольника, стороны AB и CD равны друг другу. Поэтому можно сказать, что AB = CD.

Также, по свойству биссектрисы угла, она делит угол на два равных угла. Значит, угол CAN равен углу NAD. Так как AN = ND, то и треугольник AND является равнобедренным. А значит, угол AND равен углу ADN.

Мы знаем, что в треугольнике сумма углов равна 180 градусов. Поэтому можно записать уравнение:

Угол CAN + угол AND + угол ADN = 180 градусов.

Так как CAN и AND являются равными углами, то можно заменить их на \(x\):

\(x + x + \angle ADN = 180^\circ\).

Теперь найдём значение угла ADN. Так как угол внутри треугольника равен сумме двух внешних углов, можем записать:

\(\angle ADN + \angle ADN + \angle NDA = 180^\circ\).

Заметим, что угол NDA является внешним по отношению к равнобедренному треугольнику AND, а значит равен сумме двух равных углов, то есть \(x\).

Теперь мы можем записать уравнение:

\(x + x + x = 180^\circ\).

Из этого уравнения выражаем значение угла \(x\):

\(3x = 180^\circ\),
\(x = \frac{{180^\circ}}{{3}}\),
\(x = 60^\circ\).

Теперь, когда мы знаем, что угол CAN (или угол AND) равен \(60^\circ\), мы можем найти значение угла ACD, так как углы CAN и ACD являются смежными и дополнительными (сумма углов смежных и дополнительных равна 180 градусов). То есть, угол ACD равен:

\(180^\circ - x = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\).

Теперь, когда мы знаем все углы прямоугольника ABCD, мы можем посчитать его периметр.

Периметр прямоугольника равен сумме длин всех его сторон.

Так как AB = CD и BC = AD, то периметр прямоугольника ABCD равен:

\(AB + BC + CD + AD = AB + AD + BC + CD\).

Так как мы знаем, что AB = CD, то можно записать:

\(AB + AD + BC + CD = AB + AD + BC + AB\).

Используя информацию из условия задачи, можно заменить значения длин сторон прямоугольника:

\(11\,см + 11\,см + BC + 11\,см\).

Известно, что BC = AB = AD = 11 см, поэтому можно записать:

\(11\,см + 11\,см + 11\,см + 11\,см = 44\,см\).

Таким образом, периметр прямоугольника ABCD равен 44 см.