Каков периметр прямоугольника АВСД, если его площадь равна 48 см² и синус угла САД равен 3/5?

Vesenniy_Les

61

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

Дано: Площадь прямоугольника ABSD равна 48 см² и синус угла САD равен 3/5.

Шаг 1: Найдем длину стороны прямоугольника AB или AD.
Площадь прямоугольника равна произведению его сторон, поэтому мы можем записать формулу:
Площадь = Длина AB × Длина AD.

В нашем случае, площадь равна 48 см², так что мы можем записать уравнение:
48 = AB × AD.

Обратите внимание, что у нас две неизвестных в этом уравнении, поэтому нам нужно больше информации для решения задачи. У нас есть информация о синусе угла CAD. Мы можем использовать это, чтобы получить еще одно уравнение и решить систему уравнений.

Шаг 2: Используем информацию о синусе угла САD.
Синус угла может быть определен как отношение противоположной стороны к гипотенузе в прямоугольном треугольнике.
В нашем случае противоположная сторона - это AD, а гипотенуза - это AB или BD.

Мы можем записать формулу для синуса угла CAD:
sin(CAD) = (противоположная сторона) / (гипотенуза).

В нашем случае, sin(CAD) = 3/5 и противоположная сторона - это AD, а гипотенуза - это AB или BD.
Так как AD - это одна из сторон прямоугольника, то гипотенуза по сути равна AD.

Мы можем записать уравнение:
3/5 = AD / AB.

Шаг 3: Решение системы уравнений.
У нас есть два уравнения:
48 = AB × AD
3/5 = AD / AB

Мы можем использовать второе уравнение для того, чтобы получить выражение для AD:
AD = (3/5) × AB.

Подставим это выражение для AD в первое уравнение:
48 = AB × (3/5) × AB.

Упростим это уравнение:
48 = (3/5) × AB².

Теперь, чтобы решить это уравнение, нам нужно найти AB².
Используем уравнение:
AB² = (48 × 5) / 3.

AB² = 80.

Найдем AB:
AB = \(\sqrt{80} = 4\sqrt{5}\).

Шаг 4: Найдем периметр прямоугольника.
Периметр прямоугольника определяется суммой длин всех его сторон.
В нашем случае, прямоугольник ABSD имеет две пары равных сторон AB и AD.

Периметр = 2 × AB + 2 × AD.
Подставим значения:
Периметр = 2 × (4\(\sqrt{5}\)) + 2 × (3/5) × (4\(\sqrt{5}\)).
Упростим:
Периметр = 8\(\sqrt{5}\) + (24/5)\(\sqrt{5}\).

Для удобства, можем объединить подобные слагаемые:
Периметр = (8 + 24/5)\(\sqrt{5}\).
Упростим дробь:
Периметр = (40/5 + 24/5)\(\sqrt{5}\).
Периметр = (64/5)\(\sqrt{5}\).

Таким образом, периметр прямоугольника ABSD равен \((64/5)\)\(\sqrt{5}\) см.