Каков периметр прямоугольника, если известно, что его стороны имеют отношение 5:9, а площадь равна 405?

Belenkaya_8858

57

Для решения задачи о периметре прямоугольника необходимо учитывать отношение его сторон и информацию о его площади.

Пусть \(x\) - длина более короткой стороны прямоугольника, а \(y\) - длина более длинной стороны.

Исходя из условия задачи, мы знаем, что отношение сторон прямоугольника равно 5:9, то есть \(\frac{x}{y} = \frac{5}{9}\).

Также известно, что площадь прямоугольника равна 405. Формула для вычисления площади прямоугольника: \(S = x \cdot y\).

Подставим данное значение площади и выразим одну из переменных через другую:
\[405 = x \cdot y\]
или
\[y = \frac{405}{x}\]

Теперь имея это выражение для стороны прямоугольника \(y\), подставим его в уравнение для отношения сторон:
\[\frac{x}{\frac{405}{x}} = \frac{5}{9}\]

Упростим это уравнение, умножив обе части на \(\frac{x}{1}\):
\[\frac{x^2}{405} = \frac{5x}{9}\]

Домножим обе части на 405, чтобы избавиться от знаменателя:
\[x^2 = \frac{405 \cdot 5x}{9}\]

Раскроем правую часть уравнения:
\[x^2 = \frac{2025x}{9}\]

Переместим все члены уравнения в одну сторону:
\[x^2 - \frac{2025x}{9} = 0\]

Теперь приведем это уравнение к квадратному виду. Умножим обе части на 9, чтобы избавиться от знаменателя:
\[9x^2 - 2025x = 0\]

Факторизуем этот квадратный трехчлен:
\[x(9x - 2025) = 0\]

Так как перемножение двух чисел равно нулю, значит, хотя бы одно из них должно быть равно нулю. Рассмотрим два случая:

1) \(x = 0\). Это невозможно, так как ноль не может быть длиной стороны прямоугольника.

2) \(9x - 2025 = 0\). Решим это уравнение относительно \(x\):
\[9x = 2025\]
\[x = \frac{2025}{9}\]
\[x = 225\]

Теперь, когда мы нашли значение \(x\), подставим его в выражение для длины более длинной стороны \(y\):
\[y = \frac{405}{225}\]
\[y = \frac{9}{5}\cdot 9\]
\[y = \frac{81}{5}\]
\[y = 16.2\]

Итак, мы нашли длины сторон прямоугольника: \(x = 225\), \(y = 16.2\).

Периметр прямоугольника можно вычислить по формуле: \(P = 2x + 2y\).
Подставляем значения длин сторон:
\[P = 2 \cdot 225 + 2 \cdot 16.2\]
\[P = 450 + 32.4\]
\[P = 482.4\]

Таким образом, периметр прямоугольника равен 482.4.