Каков периметр прямоугольного треугольника, если радиус описанной около него окружности равен 6,5, а один из катетов

Загадочный_Песок

15

Для начала, найдем формулу периметра прямоугольного треугольника. Периметр \(P\) равен сумме длин всех его сторон.

Пусть один катет прямоугольного треугольника равен \(a\), а второй катет равен \(b\), а гипотенуза равна \(c\).

Так как радиус описанной около треугольника окружности равен 6,5 и равен половине длины его гипотенузы (радиус описанной окружности прямоугольного треугольника равен половине длины гипотенузы), то \(c = 2 \times 6,5 = 13\).

Используем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника: \(a^2 + b^2 = c^2\).

Так как один из катетов равен \(a\), а гипотенуза равна \(c\), то \(a\) равно одной из сторон равнобедренного треугольника: \(a = b\). Поэтому у нас получится:

\[a^2 + b^2 = a^2 + a^2 = 2a^2 = c^2\]

Теперь найдем длину катета \(a\):

\[2a^2 = c^2\]

\[2a^2 = 13^2\]

\[2a^2 = 169\]

\[a^2 = \frac{169}{2}\]

\[a = \sqrt{\frac{169}{2}}\]

\[a = \sqrt{84,5}\]

Теперь, найдем периметр прямоугольного треугольника. Периметр равен сумме всех сторон: \(P = a + b + c\). Учитывая, что \(a = b\), имеем:

\[P = 2a + c\]

\[P = 2\sqrt{84,5} + 13\]

\[P ≈ 2 \times 9,20 + 13\]

\[P ≈ 18,40 + 13\]

\[P ≈ 31,40\]

Таким образом, периметр прямоугольного треугольника равен примерно 31,40.