Каков периметр прямоугольного треугольника, в который вписана окружность радиусом 8,3 см, если точка касания Q делит

Владислав

5

Хорошо, давайте рассмотрим задачу подробно.

Мы имеем прямоугольный треугольник, в который вписана окружность радиусом 8,3 см. Предположим, что стороны треугольника имеют длины a, b и c, где а и b - катеты, а c - гипотенуза треугольника.

Зная, что окружность вписана в треугольник, мы можем использовать следующую формулу:

\(r = \frac{{a + b - c}}{2}\)

где r - радиус окружности, a и b - длины катетов, c - длина гипотенузы.

Данные в задаче говорят нам, что точка касания Q делит гипотенузу на отрезки длиной 14,9 см и 8 см. Для удобства обозначим эти отрезки как x и y соответственно.

Теперь мы можем записать уравнение, используя формулу для радиуса окружности:

\(8.3 = \frac{{x + y - c}}{2}\)

Мы также знаем, что сумма двух отрезков x и y равна длине гипотенузы c:

\(x + y = c\)

Теперь мы можем решить эту систему уравнений. Добавим уравнения, чтобы избавиться от переменных x и y:

\(x + y + (x + y) = c + 2 \cdot (x + y)\)
\(2 \cdot (x + y) = c\)

Подставим значения отрезков x и y:

\(2 \cdot (14.9 + 8) = c\)
\(2 \cdot 22.9 = c\)
\(c = 45.8\)

Теперь, зная длину гипотенузы, мы можем найти периметр треугольника. Периметр равен сумме всех трех сторон:

\(P = a + b + c\)

Мы знаем, что катеты имеют длины 14.9 и 8:

\(P = 14.9 + 8 + 45.8\)
\(P = 68.7\)

Таким образом, периметр прямоугольного треугольника равен 68,7 см.