На какое число нужно умножить векторы, чтобы равенства AM : MF = 3 : 2 стали верными? (В окошко для знака числа

Егор

9

\( \frac{3}{2} \) )

Чтобы найти число, на которое нужно умножить векторы, чтобы получить равенство \( AM : MF = 3 : 2 \), нам нужно использовать пропорцию между компонентами векторов.

Пусть вектор \( AM \) имеет компоненты \( (x_1, y_1) \), а вектор \( MF \) - компоненты \( (x_2, y_2) \). Тогда мы можем записать равенство пропорции следующим образом:

\[
\frac{x_1}{x_2} : \frac{y_1}{y_2} = 3 : 2
\]

Далее, чтобы найти \( \frac{x_1}{x_2} \), мы можем умножить обе части пропорции на \( \frac{y_1}{y_2} \):

\[
\frac{x_1}{x_2} = \frac{3}{2} \times \frac{y_1}{y_2}
\]

Осталось сделать то же самое для \( \frac{y_1}{y_2} \). Для этого мы можем умножить обе части пропорции на \( \frac{x_2}{x_1} \):

\[
\frac{y_1}{y_2} = \frac{2}{3} \times \frac{x_2}{x_1}
\]

Теперь у нас есть два уравнения:

\[
\frac{x_1}{x_2} = \frac{3}{2} \times \frac{y_1}{y_2} \quad - (1)
\]
\[
\frac{y_1}{y_2} = \frac{2}{3} \times \frac{x_2}{x_1} \quad - (2)
\]

Мы можем решить эти два уравнения, подставив одно в другое.

Сначала подставим (2) в (1):

\[
\frac{x_1}{x_2} = \frac{3}{2} \times \left( \frac{2}{3} \times \frac{x_2}{x_1} \right)
\]

Сократим некоторые значения:

\[
\frac{x_1}{x_2} = \frac{3}{2} \times \frac{2x_2}{3x_1}
\]

Далее мы можем упростить это равенство, умножив обе части на \( x_2 \) и перенести \( x_1 \) на другую сторону:

\[
x_1^2 = \frac{3}{2} \times 2x_2^2
\]

Теперь можем сократить и еще упростить:

\[
x_1^2 = 3x_2^2
\]

Получили квадратное уравнение. Чтобы решить это уравнение, нужно узнать значения \( x_1 \) и \( x_2 \). После этого вы сможете умножить векторы на соответствующие числа и получить равенство \( AM : MF = 3 : 2 \) в векторной форме.