Каков периметр треугольника ABC, если M - середина стороны AB, N - середина стороны AC, а периметр NMBС равен 120?

Вечная_Мечта

35

Для начала, давайте разберемся с задачей. У нас есть треугольник ABC, и мы знаем, что точка M - середина стороны AB, а точка N - середина стороны AC. Также нам дано, что периметр треугольника NMBС (то есть треугольника, образованного точками N, M и C) равен 120. Нам нужно найти периметр треугольника ABC.

Для начала, давайте обратимся к свойству треугольника, которое гласит: "Периметр треугольника равен сумме длин его сторон". Исходя из этого, нам нужно найти длины сторон треугольника ABC.

Так как точка M - середина стороны AB, то длина отрезка AM равна длине отрезка MB. Аналогично, так как точка N - середина стороны AC, то длина отрезка AN равна длине отрезка NC.

Теперь давайте найдем длины отрезков AM и AN. Мы знаем, что периметр треугольника NMBС равен 120. Это означает, что сумма длин отрезков NM, MB и BC равна 120.

Так как N - середина стороны AC, длина отрезка AN равна половине длины стороны AC. Аналогично, длина отрезка MB равна половине длины стороны AB. Поскольку NM - это отрезок, соединяющий точки N и M, мы можем выразить его через отрезки AN и MB с помощью свойства средней линии треугольника: "Средняя линия треугольника является половиной длины параллельной ей стороны, соединяющей две середины других сторон".

Таким образом, длина отрезка NM равна сумме длин отрезков AN и MB. Обозначим длину отрезка NM как x. Тогда у нас есть следующее:

x = AN + MB

x = 0.5 * AC + 0.5 * AB

x = 0.5 * (AC + AB)

Теперь мы можем записать уравнение для периметра треугольника NMBС:

Периметр NMBС = NM + MB + BC

Периметр NMBС = x + MB + BC

Периметр NMBС = 0.5 * (AC + AB) + MB + BC

Так как длина отрезка MB равна длине отрезка AB/2 (так как BM - это половина стороны AB) и длина отрезка BC равна длине отрезка AC/2 (так как NC - это половина стороны AB), мы можем записать периметр NMBС следующим образом:

Периметр NMBС = 0.5 * (AC + AB) + AB/2 + AC/2

Поскольку у нас есть значение периметра NMBС, подставим его в уравнение:

120 = 0.5 * (AC + AB) + AB/2 + AC/2

Теперь давайте решим это уравнение относительно AB и AC.

Для удобства обозначим AB как a и AC как b:

120 = 0.5 * (b + a) + a/2 + b/2

Выполним необходимые действия:

240 = b + a + a + b

240 = 2a + 2b

Упростим выражение:

2a + 2b = 240

a + b = 120

Теперь мы можем использовать систему уравнений, состоящую из уравнения, описывающего сумму длин сторон треугольника ABC, a + b = 120, и уравнения, описывающего отношение между длинами сторон треугольника ABC и треугольника NMBС, AB = 2 * MB и AC = 2 * BC (так как M и N - середины соответствующих сторон):

a + b = 120
a = 2 * b

Подставим второе уравнение в первое:

2b + b = 120

3b = 120

b = 120 / 3

b = 40

Теперь найдем a, используя второе уравнение:

a = 2 * b

a = 2 * 40

a = 80

Итак, получили, что длина стороны AB равна 80, а длина стороны AC равна 40. Мы можем найти периметр треугольника ABC с помощью свойства треугольника, о котором мы говорили в начале:

Периметр ABC = AB + AC + BC

Периметр ABC = 80 + 40 + BC

Так как BC равна AC/2 = 40/2 = 20:

Периметр ABC = 80 + 40 + 20

Периметр ABC = 140

Таким образом, периметр треугольника ABC равен 140 единицам длины.