Каков периметр треугольника с вершинами A(5;-5;-1), B(5;-3;-1) и C(4;-3;0)? Каковы косинусы углов этого треугольника?

Tatyana

17

Чтобы найти периметр треугольника, нам нужно вычислить длины всех его сторон и затем сложить их.

Для начала вычислим длины сторон треугольника. Для этого воспользуемся формулой расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве. Формула имеет вид:

\[d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}\]

где \(d\) - расстояние между точками \((x_1, y_1, z_1)\) и \((x_2, y_2, z_2)\).

Теперь вычислим длины сторон треугольника:

- Сторона AB:
\(d_{AB} = \sqrt{(5-5)^2 + (-3+5)^2 + (-1+1)^2} = \sqrt{0 + 4 + 0} = \sqrt{4} = 2\).

- Сторона BC:
\(d_{BC} = \sqrt{(4-5)^2 + (-3+3)^2 + (0+1)^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2}\).

- Сторона CA:
\(d_{CA} = \sqrt{(4-5)^2 + (-3+5)^2 + (0+1)^2} = \sqrt{1+4+1} = \sqrt{6}\).

Теперь, чтобы найти периметр треугольника, сложим длины всех сторон:

\(P = d_{AB} + d_{BC} + d_{CA} = 2 + \sqrt{2} + \sqrt{6}\).

Ответ: Периметр треугольника с вершинами A(5;-5;-1), B(5;-3;-1) и C(4;-3;0) равен \(2 + \sqrt{2} + \sqrt{6}\).

Чтобы найти косинусы углов треугольника, воспользуемся формулой косинуса. Формула имеет вид:

\[\cos(\alpha) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\]

где \(\alpha\) - угол против стороны \(a\), \(b\) и \(c\) - длины сторон треугольника.

Найдем косинусы углов треугольника:

- Угол A: \(\cos(A) = \frac{d_{BC}^2 + d_{CA}^2 - d_{AB}^2}{2 \cdot d_{BC} \cdot d_{CA}}\).
- Угол B: \(\cos(B) = \frac{d_{AB}^2 + d_{CA}^2 - d_{BC}^2}{2 \cdot d_{AB} \cdot d_{CA}}\).
- Угол C: \(\cos(C) = \frac{d_{AB}^2 + d_{BC}^2 - d_{CA}^2}{2 \cdot d_{AB} \cdot d_{BC}}\).

Вычислим значения косинусов:

- Угол A: \(\cos(A) = \frac{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{6})^2 - 2^2}{2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{6}} = \frac{2 + 6 - 4}{2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{6}} = \frac{4}{2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{6}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\).
- Угол B: \(\cos(B) = \frac{2^2 + (\sqrt{6})^2 - (\sqrt{2})^2}{2 \cdot 2 \cdot \sqrt{6}} = \frac{4 + 6 - 2}{4 \cdot \sqrt{6}} = \frac{8}{4 \cdot \sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{3}\).
- Угол C: \(\cos(C) = \frac{2^2 + (\sqrt{2})^2 - (\sqrt{6})^2}{2 \cdot 2 \cdot \sqrt{2}} = \frac{4 + 2 - 6}{4 \cdot \sqrt{2}} = \frac{0}{4 \cdot \sqrt{2}} = 0\).

Ответ: Косинусы углов треугольника с вершинами A(5;-5;-1), B(5;-3;-1) и C(4;-3;0) равны \(\frac{\sqrt{3}}{3}\), \(\frac{\sqrt{6}}{3}\) и 0 соответственно.