What is the graph of the equation (x^2 + y^2 – 1)^3 – x^2y^3

Stepan

37

Задача состоит в том, чтобы найти график уравнения \((x^2 + y^2 - 1)^3 - x^2y^3\). График уравнения позволяет нам визуально представить, какие значения \(x\) и \(y\) удовлетворяют уравнению.

Для начала давайте разберемся с некоторыми важными деталями. Уравнение вида \((x^2 + y^2 - 1)^3 - x^2y^3 = 0\) является уравнением на плоскости. В зависимости от значений \(x\) и \(y\), которые удовлетворяют уравнению, будут получаться точки на графике.

Чтобы нарисовать график уравнения, мы можем использовать графический плоский лист и пошагово построить график. Давайте начнем с набора значений \(x\) и \(y\) и посмотрим, какие точки удовлетворяют уравнению.

Мы можем начать с выбора некоторых значений для переменных \(x\) и \(y\) и проверить, являются ли они решением уравнения. После этого мы можем добавить все больше и больше точек, используя различные значения, чтобы получить представление о том, как выглядит график уравнения.

Пусть мы возьмем \(x = 0\) и \(y = 0\). Подставим эти значения в уравнение:
\((0^2 + 0^2 - 1)^3 - 0^2 \cdot 0^3 = (-1)^3 - 0 = -1 - 0 = -1\)

Таким образом, точка \((0, 0)\) не удовлетворяет уравнению.

Давайте продолжим, выбрав другие значения для \(x\) и \(y\):

- Если мы возьмем \(x = 1\) и \(y = 1\), мы получим:
\((1^2 + 1^2 - 1)^3 - 1^2 \cdot 1^3 = (1 + 1 - 1)^3 - 1 = 1^3 - 1 = 1 - 1 = 0\)

- Если мы возьмем \(x = -1\) и \(y = -1\), мы получим:
\((-1^2 + (-1)^2 - 1)^3 - (-1)^2 \cdot (-1)^3 = (1 + 1 - 1)^3 - 1 = 1^3 - 1 = 1 - 1 = 0\)

- Если мы возьмем \(x = 1\) и \(y = -1\), мы получим:
\((1^2 + (-1)^2 - 1)^3 - 1^2 \cdot (-1)^3 = (1 + 1 - 1)^3 - 1 = 1^3 - 1 = 1 - 1 = 0\)

- Если мы возьмем \(x = -1\) и \(y = 1\), мы получим:
\((-1^2 + 1^2 - 1)^3 - (-1)^2 \cdot 1^3 = (1 + 1 - 1)^3 - 1 = 1^3 - 1 = 1 - 1 = 0\)

Таким образом, точки \((1, 1)\), \((1, -1)\), \((-1, 1)\), и \((-1, -1)\) являются решениями уравнения.

Постепенно добавляя больше и больше точек, удовлетворяющих уравнению, мы можем прорисовать график. По этим точкам можно соединить линию или кривую, которая представляет график уравнения.

Получившийся график уравнения \((x^2 + y^2 - 1)^3 - x^2y^3\) представляет собой окружность, центр которой находится в начале координат \((0, 0)\), и радиус равен 1. Окружность описывает все точки на плоскости, где это уравнение выполняется.

Надеюсь, теперь график уравнения понятен. Если у вас возникли еще вопросы, не стесняйтесь задавать!