Каков период обращения искусственного спутника Земли, который движется по круговой орбите с радиусом, в три раза

Як

33

Для решения этой задачи мы можем использовать законы движения объектов по орбитам и формулу для периода обращения искусственного спутника.

Период обращения спутника определяется как время, за которое спутник совершает полный оборот вокруг Земли.

Для начала найдем высоту спутника над поверхностью Земли. По условию, радиус орбиты спутника в три раза больше радиуса Земли, то есть равен \(3 \cdot 6400\) км.

Высота спутника над поверхностью Земли будет равна радиусу орбиты минус радиус Земли:

\(h = 3 \cdot 6400 - 6400 = 2 \cdot 6400\) км.

Теперь воспользуемся законом сохранения механической энергии для объекта на окружности. Энергия объекта, движущегося по орбите, состоит из кинетической и потенциальной энергий. Поскольку спутник движется по круговой орбите, его кинетическая энергия составляет половину от потенциальной энергии.

Уравновешивая эти энергии, мы можем записать следующее:

\(\frac{1}{2}mv^2 = G\frac{Mm}{r}\),

где \(m\) - масса спутника, \(v\) - скорость спутника, \(G\) - гравитационная постоянная, \(M\) - масса Земли и \(r\) - радиус орбиты спутника.

Мы можем заменить массу спутника \(m\) на его массу, поделенную на единицу объема, чтобы получить \(m = \frac{M}{V}\), где \(V\) - объем спутника.

Теперь мы можем записать уравнение в следующем виде:

\(\frac{1}{2}\left(\frac{M}{V}\right)v^2 = G\frac{M\left(\frac{M}{V}\right)}{r}\),

Упростив это уравнение, мы получаем:

\(v^2 = G\frac{M}{r}\).

Теперь найдем скорость спутника. Мы можем использовать формулу для скорости окружности \(v = \frac{2\pi r}{T}\), где \(T\) - период обращения спутника.

Подставляя это выражение для скорости в уравнение для \(v^2\), получаем:

\(\left(\frac{2\pi r}{T}\right)^2 = G\frac{M}{r}\).

Упрощая это уравнение, мы получаем:

\(\frac{4\pi^2 r^3}{T^2} = G\frac{M}{r}\).

Раскрывая \(r^3\), получаем:

\(\frac{4\pi^2 r^2 \cdot r}{T^2} = G\frac{M}{r}\).

Далее раскроем массу Земли \(M\) и введем известные значения для гравитационной постоянной \(G\) и радиуса Земли \(r_0\):

\(\frac{4\pi^2 r^2 \cdot r}{T^2} = \frac{GM}{r} = \frac{Gr_0^3}{r_0}\).

Теперь подставляем заданные значения для радиуса Земли \(r_0\) и ускорения свободного падения \(g\) (\(g = 9,8 м/с^2\)):

\(\frac{4\pi^2 r^2 \cdot r}{T^2} = \frac{G(r_0+ h)^3}{r_0}\).

Теперь мы можем найти период обращения спутника \(T\) из этого уравнения, подставляя известные значения для \(r\) и \(r_0\). Так как значения констант \(G\), \(r_0\) известны, а \(r\) и \(T\) являются неизвестными, мы можем решить это уравнение относительно \(T\), чтобы получить ответ.

Обратите внимание, что это упрощенная модель, которая не учитывает воздействие других факторов, таких как форма орбиты и влияние других небесных тел.