Каков период полураспада радиоактивного элемента, если его активность уменьшилась в восемь раз за 15 суток? Какое

Ledyanaya_Skazka

46

Для решения задачи о периоде полураспада радиоактивного элемента, мы можем использовать формулу, которая связывает период полураспада (\(T_\frac{1}{2}\)) и активность (\(A\)) элемента:

\[A = A_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_\frac{1}{2}}}\]

Где \(A\) - активность в конкретный момент времени \(t\), \(A_0\) - начальная активность, \(t\) - время прошедшее со времени начала измерений.

В данной задаче сказано, что активность уменьшилась в 8 раз за 15 суток, что означает \(A = \frac{1}{8}A_0\) и \(t = 15\). Подставим эти значения в формулу и найдем период полураспада:

\[\frac{1}{8}A_0 = A_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{15}{T_\frac{1}{2}}}\]

Теперь, давайте найдем \(T_\frac{1}{2}\). Для этого возьмем логарифм от обеих частей уравнения:

\[\log\left(\frac{1}{8}\right) = \log\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{15}{T_\frac{1}{2}}}\right)\]

Воспользуемся свойствами логарифма и вынесем показатель степени вперед:

\[-3 = \frac{15}{T_\frac{1}{2}} \cdot \log\left(\frac{1}{2}\right)\]

Теперь, решим уравнение относительно \(T_\frac{1}{2}\):

\[T_\frac{1}{2} = \frac{15}{-3 \cdot \log\left(\frac{1}{2}\right)}\]

Посчитаем все значения в нашем выражении:

\[
T_\frac{1}{2} = \frac{15}{-3 \cdot \log\left(\frac{1}{2}\right)} \approx 20
\]

Таким образом, период полураспада радиоактивного элемента составляет примерно 20 суток.

Теперь, чтобы найти количество распавшихся атомов, мы можем воспользоваться формулой:

\[N = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_\frac{1}{2}}}\]

Где \(N\) - количество атомов в конкретный момент времени \(t\), \(N_0\) - начальное количество атомов.

В нашей задаче, начальное количество атомов равно \(5 \times 10^{50}\), \(t = 15\) и \(T_\frac{1}{2} \approx 20\). Подставив эти значения в формулу, мы найдем количество распавшихся атомов:

\[N = 5 \times 10^{50} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{15}{20}}\]
\[N = 5 \times 10^{50} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{3}{4}}\]
\[N \approx 1.7678 \times 10^{50}\]

Таким образом, примерно \(1.7678 \times 10^{50}\) атомов распалось.