Каков путь, пройденный телом за первые 3 секунды, если его ускорение зависит от времени и задано функцией a(t)=2t+2?

Золотой_Лист_8595

69

Хорошо, чтобы решить эту задачу, нам необходимо найти путь, пройденный телом за первые 3 секунды, используя заданную функцию ускорения \(a(t) = 2t + 2\).

Для начала, нам нужно найти функцию скорости \(v(t)\), которая является первообразной функцией от ускорения \(a(t)\). Чтобы найти \(v(t)\), мы интегрируем ускорение по переменной времени \(t\):

\[
v(t) = \int a(t) dt
\]

Интегрируем \(2t + 2\) по \(t\):

\[
v(t) = \int (2t + 2) dt
\]

Производим интегрирование:

\[
v(t) = t^2 + 2t + C
\]

где \(C\) - это постоянная интегрирования.

Затем, чтобы найти функцию пути \(s(t)\), нужно взять первообразную от скорости \(v(t)\) по \(t\):

\[
s(t) = \int v(t) dt
\]

Интегрируем \(t^2 + 2t + C\) по \(t\):

\[
s(t) = \int (t^2 + 2t + C) dt
\]

Производим интегрирование:

\[
s(t) = \frac{1}{3}t^3 + t^2 + Ct + D
\]

где \(D\) - это другая постоянная интегрирования.

Таким образом, функция пути, пройденного телом за первые 3 секунды, будет выглядеть следующим образом:

\[
s(t) = \frac{1}{3}t^3 + t^2 + Ct + D
\]

Теперь, чтобы найти путь, пройденный телом за первые 3 секунды, подставим \(t = 3\) в функцию пути \(s(t)\):

\[
s(3) = \frac{1}{3}(3)^3 + (3)^2 + C(3) + D
\]

Вычислим это:

\[
s(3) = \frac{1}{3}\cdot 27 + 9 + 3C + D
\]

Таким образом, путь, пройденный телом за первые 3 секунды, будет равен \(\frac{1}{3}\cdot 27 + 9 + 3C + D\).