Задача 2. Точка O является центром окружности, описанной вокруг равнобедренного треугольника ABC с основанием AB
Задача 2. Точка O является центром окружности, описанной вокруг равнобедренного треугольника ABC с основанием AB. KA - касательная к этой окружности в точке А. KB∥AC. Перерисуйте диаграмму и докажите следующее: а) ∠ACB=∠KAB; ( ) б) ∆KAB - равнобедренный; ( ) в) отношение площадей треугольников ACB и KAB не зависит от линейных размеров сторон треугольников, а определяется только величиной ∠ACB.
Pushistik 29
Решение:a) Чтобы доказать, что ∠ACB=∠KAB, воспользуемся свойством, которое гласит, что центральный угол окружности равен углу, опирающемуся на ту же дугу. В данном случае, ∠ACB - это центральный угол окружности O, а ∠KAB - это угол, опирающийся на ту же дугу AB. Так как это одна и та же дуга, то ∠ACB=∠KAB. Мы доказали, что углы ∠ACB и ∠KAB равны.
б) Чтобы доказать, что ∆KAB - равнобедренный треугольник, нам нужно показать, что KA=KB. Заметим, что ∠KAB=∠ACB (доказано в пункте а). Рассмотрим теперь треугольники ∆KAB и ∆KBA. У них соответственно равны стороны KA и KB. Также, ∠KAB=∠KBA (по свойству углов, опирающихся на одну и ту же дугу AB). Поэтому эти два треугольника KAB и KBA равны по двум сторонам и углу между ними. По свойству равнобедренных треугольников, стороны, противолежащие равным углам, также равны, то есть KA=KB. Таким образом, ∆KAB - равнобедренный треугольник.
в) Чтобы доказать, что отношение площадей треугольников ACB и KAB не зависит от линейных размеров сторон треугольников, а определяется только величиной ∠ACB, воспользуемся свойством, которое гласит, что площадь треугольника можно выразить как половину произведения двух сторон на синус угла между этими сторонами. Обозначим площадь треугольника ACB как S1, а площадь треугольника KAB как S2.
Мы знаем, что KA=KB (доказано в пункте б). Также, у нас есть равенство углов ∠KAB=∠ACB (доказано в пункте а). Тогда можно записать соотношение между площадями треугольников:
\[\frac{{S1}}{{S2}}=\frac{{\frac{{1}}{{2}}\cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle ACB)}}{{\frac{{1}}{{2}}\cdot KA \cdot KB \cdot \sin(\angle KAB)}}\]
Упрощая это выражение, получаем:
\[\frac{{S1}}{{S2}}=\frac{{AB \cdot AC}}{{KA \cdot KB}}\]
Но мы уже знаем, что KA=KB, поэтому:
\[\frac{{S1}}{{S2}}=\frac{{AB \cdot AC}}{{KA \cdot KA}}\]
Таким образом, отношение площадей треугольников ACB и KAB не зависит от линейных размеров сторон треугольников, а определяется только величиной ∠ACB.
Доказательство закончено.