Каков радиус цилиндра, вписанного в конус с образующей длиной 18 см, если прямая, проходящая через центр верхнего

Ягуар

32

Для решения этой задачи, нам нужно использовать свойства и формулы для цилиндра и конуса.

Пусть радиус цилиндра равен \(r\). Мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения высоты конуса \(h\). По условию задачи, прямая, проходящая через центр верхнего основания цилиндра и любую точку окружности основания конуса, образует угол 45° с основанием конуса. Таким образом, изменение высоты равно \(r \cdot \sin{45°}\). Зная высоту конуса и угол между образующей и высотой, мы можем использовать тригонометрическую функцию \(\sin\) для нахождения образующей конуса \(l\).

\[h = r \cdot \sin{45°}\]

Теперь, используя известные значения высоты и образующей, мы можем найти радиус конуса. Зная образующую \(l\) и радиус цилиндра \(r\), мы можем использовать тригонометрическую функцию \(\sin\) для нахождения радиуса конуса \(R\) по следующей формуле:

\[\sin{30°} = \frac{r}{R}\]

Решим эту уравнение для \(R\):

\[R = \frac{r}{\sin{30°}}\]

Мы знаем, что сумма радиусов цилиндра и конуса равна 18 см:

\(r + R = 18\)

Подставим выражение для \(R\):

\(r + \frac{r}{\sin{30°}} = 18\)

Умножим обе части уравнения на \(\sin{30°}\):

\(r \cdot \sin{30°} + r = 18 \cdot \sin{30°}\)

Рассчитаем значения синуса 30°:

\(r \cdot \frac{1}{2} + r = 18 \cdot \frac{1}{2}\)

Сократим дроби и соберём слагаемые:

\(\frac{3r}{2} = 9\)

Умножим обе части уравнения на \(\frac{2}{3}\):

\(r = \frac{9}{\frac{2}{3}}\)

Вычислим значение \(r\):

\(r = \frac{27}{2} \approx 13,5\)

Таким образом, радиус цилиндра, вписанного в конус, составляет около 13,5 см, округляя до сотых.