Каков радиус цилиндра, вписанного в конус с образующей длиной 18 см, если прямая, проходящая через центр верхнего

Ягуар

32

Для решения этой задачи, нам нужно использовать свойства и формулы для цилиндра и конуса.

Пусть радиус цилиндра равен $r$. Мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения высоты конуса $h$. По условию задачи, прямая, проходящая через центр верхнего основания цилиндра и любую точку окружности основания конуса, образует угол 45° с основанием конуса. Таким образом, изменение высоты равно $r\cdot \sin 45°$. Зная высоту конуса и угол между образующей и высотой, мы можем использовать тригонометрическую функцию $\sin$ для нахождения образующей конуса $l$.

$$h=r\cdot \sin 45°$$

Теперь, используя известные значения высоты и образующей, мы можем найти радиус конуса. Зная образующую $l$ и радиус цилиндра $r$, мы можем использовать тригонометрическую функцию $\sin$ для нахождения радиуса конуса $R$ по следующей формуле:

$$\sin 30°=\frac{r}{R}$$

Решим эту уравнение для $R$:

$$R=\frac{r}{\sin 30°}$$

Мы знаем, что сумма радиусов цилиндра и конуса равна 18 см:

$r+R=18$

Подставим выражение для $R$:

$r+\frac{r}{\sin 30°}=18$

Умножим обе части уравнения на $\sin 30°$:

$r\cdot \sin 30°+r=18\cdot \sin 30°$

Рассчитаем значения синуса 30°:

$r\cdot \frac{1}{2}+r=18\cdot \frac{1}{2}$

Сократим дроби и соберём слагаемые:

$\frac{3r}{2}=9$

Умножим обе части уравнения на $\frac{2}{3}$:

$r=\frac{9}{\frac{2}{3}}$

Вычислим значение $r$:

$r=\frac{27}{2}\approx 13,5$

Таким образом, радиус цилиндра, вписанного в конус, составляет около 13,5 см, округляя до сотых.