Каков радиус и потенциал металлического шара, если он получил заряд 180 нКл и его электроемкость стала

Степан_4164

29

Для решения этой задачи нам понадобятся следующие формулы:

1. Формула для электроемкости \(C\) металлического шара:
\[C = \frac{4\pi\epsilon_0R}{ln(\frac{R}{r})}\]
где \(R\) - внешний радиус шара, \(r\) - внутренний радиус шара, \(\epsilon_0\) - электрическая постоянная (\(\epsilon_0 \approx 8.854 \times 10^{-12} \, \text{Ф/м}\)).

2. Формула для потенциала \(V\) металлического шара:
\[V = \frac{Q}{C}\]
где \(Q\) - заряд шара.

Сначала найдем внутренний радиус \(r\) металлического шара, используя заданный заряд \(Q = 180 \, \text{нКл}\) и заданное значение электроемкости \(C\).

Исходя из задачи, у нас нет информации о значении электроемкости после зарядки металлического шара. Поэтому, для решения задачи, мы предположим, что электроемкость осталась неизменной и равна \(\Delta C\). Обозначим внутренний радиус шара до зарядки как \(r_0\), а после зарядки как \(r\).

Теперь мы можем записать уравнение для электроемкости до и после зарядки шара:

До зарядки:
\[C_0 = \frac{4\pi\epsilon_0R}{\ln(\frac{R}{r_0})}\]

После зарядки:
\[C = \frac{4\pi\epsilon_0R}{\ln(\frac{R}{r})}\]

Мы знаем, что заряд \(Q\) металлического шара равен 180 нКл, поэтому мы можем записать уравнение для заряда до и после зарядки:

До зарядки:
\[Q = C_0 \cdot V_0\]
Где \(V_0\) - потенциал до зарядки.

После зарядки:
\[Q = C \cdot V\]
Где \(V\) - потенциал после зарядки.

Так как мы ищем значения радиуса \(r\) и потенциала \(V\) после зарядки, нам нужно сначала выразить электроемкости \(C_0\) и \(C\) через внутренний радиус \(r\), используя уравнения электроемкости.

\[C_0 = \frac{4\pi\epsilon_0R}{\ln(\frac{R}{r_0})} \iff \ln(\frac{R}{r_0}) = \frac{4\pi\epsilon_0R}{C_0}\]

\[C = \frac{4\pi\epsilon_0R}{\ln(\frac{R}{r})}\]

Теперь мы можем решить систему уравнений, состоящую из уравнений для заряда и электроемкости:

\[\frac{Q}{C_0} = V_0 \iff V_0 = \frac{Q}{C_0}\]

\[\frac{Q}{C} = V \iff V = \frac{Q}{C}\]

Сравнивая выражения для зарядов до и после зарядки шара, а также выражения для потенциалов до и после зарядки, мы можем записать следующее уравнение:

\[\frac{Q}{C_0} = \frac{Q}{C} \iff \frac{1}{C_0} = \frac{1}{C} \iff C_0 = C\]

Теперь у нас есть выражение для электроемкости \(C\) через внутренний радиус \(r\):

\[\ln(\frac{R}{r_0}) = \frac{4\pi\epsilon_0R}{C}\]

Используя это уравнение, мы можем выразить \(r_0\) через известные величины:

\[r_0 = \frac{R}{e^{\frac{4\pi\epsilon_0R}{C}}}\]

Теперь мы можем найти внутренний радиус \(r\) шара. Давайте подставим известные значения заряда \(Q = 180 \, \text{нКл}\), электрической постоянной \(\epsilon_0 \approx 8.854 \times 10^{-12} \, \text{Ф/м}\) и электроемкости \(C\).

Пусть \(R = 1 \, \text{м}\), \(C = \Delta C\). Подставим эти значения в уравнение:

\[r_0 = \frac{1 \, \text{м}}{e^{\frac{4\pi \cdot 8.854 \times 10^{-12} \, \text{Ф/м} \cdot 1 \, \text{м}}{\Delta C}}}\]

Теперь, найдя \(r_0\), мы можем подставить его в уравнение для электроемкости \(C_0\) и выразить его через известные величины:

\[C_0 = \frac{4\pi \cdot 8.854 \times 10^{-12} \, \text{Ф/м} \cdot 1 \, \text{м}}{\ln(\frac{1 \, \text{м}}{r_0})}\]

Зная значения \(C_0\) и \(C\), мы можем приравнять их и решить уравнение относительно радиуса \(r\):

\[\frac{4\pi \cdot 8.854 \times 10^{-12} \, \text{Ф/м} \cdot 1 \, \text{м}}{\ln(\frac{1 \, \text{м}}{r_0})} = \frac{4\pi \cdot 8.854 \times 10^{-12} \, \text{Ф/м} \cdot 1 \, \text{м}}{\ln(\frac{1 \, \text{м}}{r})}\]

Сокращая общие множители, получаем:

\[\ln(\frac{1 \, \text{м}}{r_0}) = \ln(\frac{1 \, \text{м}}{r})\]

Отсюда следует:

\[\frac{1 \, \text{м}}{r_0} = \frac{1 \, \text{м}}{r}\]

И в конечном итоге:

\[r = r_0\]

Таким образом, радиус и потенциал металлического шара после зарядки будут такими же, как и до зарядки. Это происходит из-за того, что радиус и потенциал не зависят от заряда или электроемкости шара.