Каков радиус кривизны вогнутого сферического зеркала, если предмет находится на расстоянии 80 см от своего изображения

Веселый_Клоун

25

Чтобы найти радиус кривизны вогнутого сферического зеркала, нам понадобится использовать формулу для увеличения или уменьшения изображения в зеркале. Данная формула выглядит следующим образом:

\[\frac{h"}{h} = -\frac{d"}{d} \quad (1)\]

Где:
\(h"\) - высота изображения,
\(h\) - высота предмета,
\(d"\) - расстояние от изображения до зеркала,
\(d\) - расстояние от предмета до зеркала.

По условию известно, что изображение является действительным и в 3 раза меньше предмета, а также расстояние от предмета до изображения равно 80 см.

Используя известные данные, можем записать следующее:

\[\frac{h"}{h} = -\frac{d"}{d} = -\frac{1}{3} \quad (2)\]

Так как вогнутое сферическое зеркало имеет фокусное расстояние \(f = \frac{R}{2}\), где \(R\) - радиус кривизны, то расстояние от предмета до зеркала можно представить как \(d = f + R\).

С помощью закона подобия треугольников предмета и его изображения, можно записать следующее:

\[\frac{h"}{h} = -\frac{d"}{d}\]

\[\frac{h"}{h} = -\frac{-h/3}{f+R} \quad (3)\]

Подставляя (2) в (3), получим:

\[-\frac{1}{3} = -\frac{-h/3}{f+R}\]

Упростим уравнение, избавившись от отрицательных знаков:

\[\frac{1}{3} = \frac{h/3}{f+R}\]

Умножим обе части уравнения на \((f+R)\):

\[1 = \frac{h}{3} \cdot \frac{1}{f+R}\]

\[f+R = \frac{h}{3} \quad (4)\]

Теперь вспомним, что из условия задачи известно, что расстояние от предмета до изображения равно 80 см. Подставим это значение в уравнение (4), чтобы найти высоту предмета \(h\):

\[f+R = \frac{h}{3}\]

\[f+R = \frac{80}{3}\]

Теперь нам нужно узнать, чему равно фокусное расстояние \(f\) в нашей задаче. Так как изображение является действительным, фокусное расстояние будет положительным числом. Так как зеркало вогнутое, мы знаем, что \(f > 0\).

Давайте воспользуемся данной информацией, чтобы продолжить наше решение.