Каков радиус окружности, если площадь прямоугольника, вписанного в эту окружность, равна 48 см², и одна из сторон

Evgenyevich

20

Давайте начнем с того, что прямоугольник, вписанный в окружность, является прямоугольником с наибольшей площадью, имеющий свои стороны параллельными диаметру окружности. Поскольку окружность полностью охватывает прямоугольник, ее диаметр равен длине большей стороны прямоугольника.

Пусть длина большей стороны прямоугольника будет \(x\), а длина меньшей стороны - \(y\).

Площадь прямоугольника равна произведению его сторон, поэтому у нас есть следующее уравнение:

\[xy = 48 \ \text{см²}\]

Также мы знаем, что одна из сторон прямоугольника больше другой на какую-то величину. Давайте обозначим эту величину \(d\). Таким образом, мы можем записать:

\[x = y + d\]

Теперь мы можем решить уравнение, подставив это выражение в уравнение площади прямоугольника:

\[(y + d)y = 48 \ \text{см²}\]

Раскроем скобки:

\[y^2 + dy = 48\]

Перенесем все члены в одну сторону уравнения:

\[y^2 + dy - 48 = 0\]

Мы получили квадратное уравнение, которое можно решить с помощью факторизации или квадратного корня. Давайте воспользуемся факторизацией. Разложим это квадратное уравнение на два множителя:

\[(y - 4)(y + 12) = 0\]

Из этого уравнения мы видим, что либо \(y - 4 = 0\), либо \(y + 12 = 0\).

Если \(y - 4 = 0\), то \(y = 4\). Если \(y + 12 = 0\), то \(y = -12\). Однако, поскольку у нас дело только с положительными значениями сторон, мы выбираем \(y = 4\).

Теперь мы знаем значение \(y\), равное 4 см. Мы также знаем, что \(x = y + d\). Подставим \(y = 4\) в это уравнение:

\[x = 4 + d\]

Изначально было задано условие, что одна из сторон прямоугольника больше другой на \(d\) см. Исходя из этого, мы можем сказать, что \(x = y + d = 4 + d\).

Мы также знаем, что диаметр окружности равен \(x\), следовательно, \(d\) также будет равно радиусу окружности.

Таким образом, радиус окружности будет равен 4 см.