Каков радиус окружности, описанной около треугольника, если один из его углов составляет 45 градусов, а длина

Zagadochnyy_Les

12

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой синусов для треугольников. Теорема синусов гласит:

\[\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}\]

где \(a\), \(b\), и \(c\) - стороны треугольника, а \(A\), \(B\), и \(C\) - соответствующие противолежащие углы.

В данной задаче у нас имеется треугольник, у которого один из углов составляет 45 градусов, а противолежащая сторона имеет длину 60 см.

Обозначим радиус окружности, описанной около треугольника, как \(R\).

Так как треугольник описан около окружности, то его стороны являются радиусами окружности. Следовательно, каждая сторона равна \(R\).

Противолежащая углу вопроса сторона имеет длину 60 см, поэтому она также равна \(R\).

Теперь мы знаем две стороны треугольника: \(R\) и 60 см, и один из углов: 45 градусов.

Мы можем использовать теорему синусов, чтобы найти радиус \(R\):

\[\frac{R}{\sin(45^\circ)} = \frac{60 \, \text{см}}{\sin(90^\circ)}\]

Так как \(\sin(90^\circ) = 1\), то выражение упрощается:

\[R = \frac{60 \, \text{см}}{\sin(45^\circ)}\]

Так как \(\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\), то окончательный ответ будет:

\[R = \frac{60 \, \text{см}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{60 \, \text{см} \cdot 2}{\sqrt{2}} = \frac{120 \, \text{см}}{\sqrt{2}} = \frac{120}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{120\sqrt{2}}{2} = 60\sqrt{2} \, \text{см}\]

Таким образом, радиус окружности, описанной около треугольника, равен \(60\sqrt{2}\) см.