Каков радиус окружности, описанной вокруг прямоугольной трапеции, периметр которой равен 78, а большая из боковых

Добрый_Дракон_8772

7

Давайте рассмотрим задачу описательно. У нас есть прямоугольная трапеция. Прямоугольная трапеция - это фигура с двумя параллельными основаниями и перпендикулярной к ним боковой стороной. В нашем случае прямоугольная трапеция имеет периметр 78, а большая из боковых сторон имеет длину \( a \).

По определению окружности, она описывается вокруг фигуры, когда все точки фигуры равноудалены от центра окружности. Чтобы найти радиус окружности, описывающей прямоугольную трапецию, нам необходимо рассмотреть треугольник, образованный радиусом, боковой стороной большого основания и диагональю прямоугольной трапеции.

Нарисуем прямоугольную трапецию и этот треугольник:

\[
\begin{array}{c}
\begin{array}{ccc}
& \overline{AB} & \\
& \downarrow & \\
A &---&---&---& B \\
| &&&&| \\
| &&&&| \\
|| & \ & || \\
a & \ & c \\
|| & \ & || \\
| &&&&| \\
| &&&&| \\
A" &---&---&---& B" \\
& \downarrow & \\
& \overline{A"B"} & \\
\end{array}
\\
\text{Рисунок 1: Прямоугольная трапеция}
\end{array}
\]

Здесь \( A \) и \( B \) - основания прямоугольной трапеции, \( a \) - большая из боковых сторон, \( c \) - диагональ, \( A" \) и \( B" \) - вершины прямоугольника, образованного диагональю.

Сумма всех сторон прямоугольной трапеции равна её периметру:

\[
AB + BC + CD + DA = 78
\]

Так как прямоугольная трапеция имеет две параллельные стороны, то \( AB = CD \) и \( BC = DA \). Заменим эти стороны на \( x \):

\[
x + x + a + c = 78
\]

Теперь мы можем представить диагональ \( c \) через \( x \) и \( a \) на основании теоремы Пифагора:

\[
c = \sqrt{x^2 + a^2}
\]

Подставим значение \( c \) в исходное уравнение:

\[
2x + a + \sqrt{x^2 + a^2} = 78
\]

Теперь решим это уравнение относительно \( x \). Сначала переместим все слагаемые с \( x \) влево:

\[
\sqrt{x^2 + a^2} - 2x = 78 - a
\]

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

\[
x^2 + a^2 - 4x^2 = (78 - a)^2
\]

Упростим:

\[
-3x^2 + a^2 = 6084 - 156a + a^2
\]

Запишем это квадратное уравнение в стандартной форме:

\[
-3x^2 = 6084 - 156a
\]

Теперь перенесем все слагаемые влево:

\[
3x^2 + 156a - 6084 = 0
\]

Это квадратное уравнение можно решить, используя квадратное уравнение вида \( ax^2 + bx + c = 0 \). В данном случае \( a = 3 \), \( b = 0 \) и \( c = 156a - 6084 \).

Решение этого уравнения даст нам значения радиуса окружности. Я могу продолжить решение уравнения, если вы хотите.