Каков радиус окружности, описанной вокруг треугольника ACB, если из точки A, не находящейся в одной плоскости

  • 40
Каков радиус окружности, описанной вокруг треугольника ACB, если из точки A, не находящейся в одной плоскости с треугольником, проведены перпендикуляр AB и наклонные AC и AD. Углы ACB, ADB и CAD равны 30°, 30° и 60° соответственно. Радиус описанной около треугольника ACB окружности равен √3 см. Найдите этот радиус.
Vitalyevna
12
Для решения данной задачи воспользуемся свойствами описанной окружности треугольника.

Когда треугольник ABC описан около окружности, каждая из его сторон является касательной к этой окружности. Таким образом, сторона AB является касательной к описанной окружности.

Возьмем точку O на окружности ACB в качестве центра описанной окружности. Радиус описанной окружности равен расстоянию от центра окружности O до любой из вершин треугольника, скажем, до вершины A.

По условию дано, что радиус описанной окружности равен \(\sqrt{3}\) см. Таким образом, <> = <> = <> равны \(\sqrt{3}\) см.

Так как угол CAD равен 60°, то угол COD равен 120°, так как угол, опирающийся на дугу окружности, равен в два раза больше центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Следовательно, угол, образованный стороной CO и радиусом AO, равен половине угла COD и составляет 60°/2 = 30°.

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник ACO с гипотенузой AO, противолежащую углу COA, равному 30°.

Мы также знаем, что угол ACB равен 30° и угол ADB также равен 30°. Так как угол CAD равен 60°, то угол ACD равен 60° - 30° = 30°. Таким образом, угол ACB и угол ACD равны и являются углами смежными с углами треугольника ACO.

Таким образом, треугольники ACO и ACB подобны по государству-подобия (угловые углы равны), а следовательно, соответствующие их гипотенузы пропорциональны. Пусть радиус описанной окружности равен R.

Тогда \(\frac{R}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{AB}\).

Перемножим обе стороны равенства и получим R = \(\frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{AB} = \frac{3}{AB}\).

У нас также есть равнобедренный треугольник ADB с углом ADB равным 30°. Поэтому горизонтальная сторона AD равна стороне AB. Следовательно, AB = AD.

Теперь мы можем заменить AB в нашем уравнении:

R = \(\frac{3}{AD}\).

Мы также знаем, что угол ADC равен 30°, а угол ACD равен 30°, поскольку треугольники ABD и ACD равнобедренные.

Так как сумма углов треугольника равна 180°, угол CAD равен 180° - 30° - 30° = 120°.

Поскольку угол CAD опирается на дугу CD, угол COD, опирающийся на ту же дугу CD, также равен 120°.

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник ADC с гипотенузой AD и остроугольным углом ACD, равным 30°.

В этом треугольнике соотношение между гипотенузой и катетом равно \(\frac{1}{2}\). Таким образом, AD = 2 \(\cdot\) CD.

Теперь мы можем заменить AD в нашем уравнении:

R = \(\frac{3}{2 \cdot CD}\).

Из полученного уравнения видно, что радиус описанной окружности обратно пропорционален диагонали прямоугольного треугольника ADC.

Таким образом, радиус описанной окружности равен \(\frac{3}{2}\) раза длине диагонали треугольника ADC.

Но угол CAD равен 30°, поэтому треугольник ADC является равносторонним треугольником, и все его стороны равны.

Из равностороннего треугольника известно, что диагональ равна \(d = \frac{s}{\sqrt{3}}\), где s - длина стороны.

Таким образом, длина диагонали треугольника ADC равна \(d = \frac{AB}{\sqrt{3}}\).

А так как радиус описанной окружности равен \(\frac{3}{2}\) раза длине диагонали, получаем:

R = \(\frac{3}{2} \cdot \frac{AB}{\sqrt{3}} = \frac{AB}{2}\).

Теперь остается найти длину стороны AB. Для этого воспользуемся свойствами треугольника.

Угол CAB равен 30°, угол ABC равен 30°, угол BCA равен 120°, так как сумма углов треугольника равна 180°.

Так как угол ACB равен 30°, это значит, что треугольник ABC является равнобедренным, и стороны AB и AC равны.

Из уравнения равновеликости треугольника угла BCA и новообретенных свойств равнобедренного треугольника получаем:

AC = AB = 2 \(\cdot\) BC.

Так как радиус описанной окружности равен \(\sqrt{3}\) см, а радиус обратно пропорционален длине стороны, получаем:

\(\sqrt{3} = \frac{AB}{2} = BC\).

Отсюда получаем, что длина стороны AB равна 2 \(\cdot\) \(\sqrt{3}\) см.

Теперь мы можем заменить эту длину в формулу для радиуса:

R = \(\frac{AB}{2} = \frac{2 \cdot \sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\) см.

Таким образом, радиус описанной окружности равен \(\sqrt{3}\) см.