Каков радиус окружности, описанной вокруг треугольника ACB, если из точки A, не находящейся в одной плоскости
Каков радиус окружности, описанной вокруг треугольника ACB, если из точки A, не находящейся в одной плоскости с треугольником, проведены перпендикуляр AB и наклонные AC и AD. Углы ACB, ADB и CAD равны 30°, 30° и 60° соответственно. Радиус описанной около треугольника ACB окружности равен √3 см. Найдите этот радиус.
Vitalyevna 12
Для решения данной задачи воспользуемся свойствами описанной окружности треугольника.Когда треугольник ABC описан около окружности, каждая из его сторон является касательной к этой окружности. Таким образом, сторона AB является касательной к описанной окружности.
Возьмем точку O на окружности ACB в качестве центра описанной окружности. Радиус описанной окружности равен расстоянию от центра окружности O до любой из вершин треугольника, скажем, до вершины A.
По условию дано, что радиус описанной окружности равен \(\sqrt{3}\) см. Таким образом, <
Так как угол CAD равен 60°, то угол COD равен 120°, так как угол, опирающийся на дугу окружности, равен в два раза больше центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
Следовательно, угол, образованный стороной CO и радиусом AO, равен половине угла COD и составляет 60°/2 = 30°.
Теперь у нас есть прямоугольный треугольник ACO с гипотенузой AO, противолежащую углу COA, равному 30°.
Мы также знаем, что угол ACB равен 30° и угол ADB также равен 30°. Так как угол CAD равен 60°, то угол ACD равен 60° - 30° = 30°. Таким образом, угол ACB и угол ACD равны и являются углами смежными с углами треугольника ACO.
Таким образом, треугольники ACO и ACB подобны по государству-подобия (угловые углы равны), а следовательно, соответствующие их гипотенузы пропорциональны. Пусть радиус описанной окружности равен R.
Тогда \(\frac{R}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{AB}\).
Перемножим обе стороны равенства и получим R = \(\frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{AB} = \frac{3}{AB}\).
У нас также есть равнобедренный треугольник ADB с углом ADB равным 30°. Поэтому горизонтальная сторона AD равна стороне AB. Следовательно, AB = AD.
Теперь мы можем заменить AB в нашем уравнении:
R = \(\frac{3}{AD}\).
Мы также знаем, что угол ADC равен 30°, а угол ACD равен 30°, поскольку треугольники ABD и ACD равнобедренные.
Так как сумма углов треугольника равна 180°, угол CAD равен 180° - 30° - 30° = 120°.
Поскольку угол CAD опирается на дугу CD, угол COD, опирающийся на ту же дугу CD, также равен 120°.
Теперь у нас есть прямоугольный треугольник ADC с гипотенузой AD и остроугольным углом ACD, равным 30°.
В этом треугольнике соотношение между гипотенузой и катетом равно \(\frac{1}{2}\). Таким образом, AD = 2 \(\cdot\) CD.
Теперь мы можем заменить AD в нашем уравнении:
R = \(\frac{3}{2 \cdot CD}\).
Из полученного уравнения видно, что радиус описанной окружности обратно пропорционален диагонали прямоугольного треугольника ADC.
Таким образом, радиус описанной окружности равен \(\frac{3}{2}\) раза длине диагонали треугольника ADC.
Но угол CAD равен 30°, поэтому треугольник ADC является равносторонним треугольником, и все его стороны равны.
Из равностороннего треугольника известно, что диагональ равна \(d = \frac{s}{\sqrt{3}}\), где s - длина стороны.
Таким образом, длина диагонали треугольника ADC равна \(d = \frac{AB}{\sqrt{3}}\).
А так как радиус описанной окружности равен \(\frac{3}{2}\) раза длине диагонали, получаем:
R = \(\frac{3}{2} \cdot \frac{AB}{\sqrt{3}} = \frac{AB}{2}\).
Теперь остается найти длину стороны AB. Для этого воспользуемся свойствами треугольника.
Угол CAB равен 30°, угол ABC равен 30°, угол BCA равен 120°, так как сумма углов треугольника равна 180°.
Так как угол ACB равен 30°, это значит, что треугольник ABC является равнобедренным, и стороны AB и AC равны.
Из уравнения равновеликости треугольника угла BCA и новообретенных свойств равнобедренного треугольника получаем:
AC = AB = 2 \(\cdot\) BC.
Так как радиус описанной окружности равен \(\sqrt{3}\) см, а радиус обратно пропорционален длине стороны, получаем:
\(\sqrt{3} = \frac{AB}{2} = BC\).
Отсюда получаем, что длина стороны AB равна 2 \(\cdot\) \(\sqrt{3}\) см.
Теперь мы можем заменить эту длину в формулу для радиуса:
R = \(\frac{AB}{2} = \frac{2 \cdot \sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\) см.
Таким образом, радиус описанной окружности равен \(\sqrt{3}\) см.