Каков радиус окружности, проходящей через вершину острого угла, из которого проведена биссектриса, и точку пересечения

Morskoy_Iskatel

58

Данная задача связана с геометрией и требует использования базовых знаний о свойствах треугольников и окружностей. Давайте рассмотрим решение шаг за шагом.

1. Обратим внимание на то, что в условии говорится о треугольнике, у которого имеется острый угол. Помните, что острый угол - это угол, значение которого меньше 90 градусов.

2. Также в условии встречается понятие биссектрисы. Биссектриса угла делит этот угол на два равных угла. Таким образом, биссектриса острого угла разделяет его на два равных угла.

3. У нас есть два отрезка, на которые биссектриса делит противолежащий катет. Длина каждого из этих отрезков равна 6 см.

4. Поскольку биссектриса делит противолежащий катет на два равных отрезка, можно заключить, что она является медианой получившегося при этом треугольника.

5. По свойству медианы треугольника, она проходит через вершину острого угла и точку пересечения медианы с противоположным этому углу катетом.

6. Рассмотрим получившийся треугольник. Поскольку у нас есть медиана и мы знаем, что биссектриса делит противолежащий катет на два равных отрезка, то получившийся треугольник является прямоугольным треугольником.

7. С помощью теоремы Пифагора мы можем выразить радиус окружности, проходящей через вершину острого угла, через известные нам стороны треугольника (катеты). Теорема Пифагора формулируется следующим образом: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Пусть \(a\) и \(b\) - это длины катетов треугольника, равные 6 см каждый. Пусть \(r\) - это радиус окружности, проходящей через вершину острого угла. Тогда по теореме Пифагора получаем:

\[a^2 + b^2 = (2r)^2\]

Подставляя значения:
\[6^2 + 6^2 = (2r)^2\]

Упрощая выражение получаем:
\[36 + 36 = 4r^2\]
\[72 = 4r^2\]

Делаем вывод, что:
\[r^2 = \frac{72}{4} = 18\]
\[r = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\]

Таким образом, радиус окружности, проходящей через вершину острого угла, из которого проведена биссектриса и точку пересечения биссектрисы острого угла с противолежащим этому углу катетом, равен \(3\sqrt{2}\) см.

Надеюсь, что это пошаговое решение помогло вам понять задачу. Если у вас возникнут ещё вопросы, не стесняйтесь задавать.