Если луч образует угол 30 градусов с положительной полуосью абсцисс, то каковы координаты точки

Sovenok

53

Для решения данной задачи необходимо учесть, что угол образованный лучом с положительной полуосью абсцисс является углом наклона луча относительно оси Ox в координатной плоскости.

Итак, пусть у нас есть луч, образующий угол 30 градусов с положительной полуосью абсцисс. Рассмотрим точку P, которая лежит на этом луче. Мы должны найти координаты этой точки.

Для начала, обратимся к тригонометрическим свойствам. Косинус угла наклона луча относительно оси Ox (30 градусов) равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. В данном случае, прилежащий катет соответствует оси Ox, а гипотенуза - рассматриваемому лучу. Таким образом, косинус угла 30 градусов равен значению координаты x точки P.

Используя свойство косинуса угла, мы можем записать следующее уравнение:
\[\cos(30^\circ) = \frac{x}{r}\],
где x - значение координаты x точки P, а r - расстояние от начала координат до точки P.

Зная значение косинуса 30 градусов и заменяя его в уравнении, получаем:
\[\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{x}{r}\].

Далее, рассмотрим синус угла 30 градусов. Синус угла равен отношению противоположного катета к гипотенузе. В данном случае, противоположный катет соответствует координате y точки P, а гипотенуза - рассматриваемому лучу. Таким образом, синус угла 30 градусов равен значению координаты y точки P.

Используя свойство синуса угла, мы можем записать следующее уравнение:
\[\sin(30^\circ) = \frac{y}{r}\],
где y - значение координаты y точки P, а r - расстояние от начала координат до точки P.

Зная значение синуса 30 градусов и заменяя его в уравнении, получаем:
\[\frac{1}{2} = \frac{y}{r}\].

Мы получили систему уравнений:
\[\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{x}{r}\]
\[\frac{1}{2} = \frac{y}{r}\]

Теперь рассмотрим геометрическую интерпретацию этой системы. Пусть точка P находится на расстоянии r от начала координат. Из свойств тригонометрических функций, мы знаем, что значение косинуса угла 30 градусов равно значению координаты x относительно r, а значение синуса угла 30 градусов равно значению координаты y относительно r. Из этого следует, что x = r * \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) и y = r * \(\frac{1}{2}\).

Теперь мы можем решить эту систему уравнений. Для этого, найдем значение r:

Из уравнения 1: \(\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{x}{r}\), получаем
\[r = \frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2x}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}x}{3}\]

Подставим значение r в уравнение 2: \(\frac{1}{2} = \frac{y}{r}\), получаем
\[\frac{1}{2} = \frac{y}{\frac{2\sqrt{3}x}{3}} = \frac{3y}{2\sqrt{3}x}\]

Теперь выразим x и y:

Из уравнения 1: \(x = r * \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3}x}{3} * \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3x}{2}\), следовательно:
\[\frac{x}{2} = 0 \Rightarrow x = 0\]

Из уравнения 2: \(y = r * \frac{1}{2} = \frac{2\sqrt{3}x}{3} * \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}x}{3}\), следовательно:
\[\frac{\sqrt{3}x}{3} = 0 \Rightarrow \sqrt{3}x = 0 \Rightarrow x = 0\]

Таким образом, мы получаем, что координаты точки P равны (0, 0).