Каков радиус окружности, вписанной в основание правильной четырехугольной пирамиды, если радиус равен 3 см и высота

Luna_V_Ocheredi

46

Для решения этой задачи вам понадобятся знания о свойствах правильной четырехугольной пирамиды и геометрические выкладки.

Давайте начнем с вычисления радиуса окружности, вписанной в основание пирамиды. Вспомним, что в правильной четырехугольной пирамиде все грани являются равнобедренными равносторонними треугольниками, а высота пирамиды проходит через вершину и середину основания.

Поскольку радиус вписанной окружности проходит через середины сторон основания, мы можем провести линию, которая будет соединять центр окружности и середину одной из сторон основания. Эта линия будет перпендикулярна стороне основания. Затем соединим центр окружности с вершиной пирамиды.

Получившаяся фигура будет прямоугольным треугольником. Мы знаем, что гипотенуза этого треугольника равна радиусу окружности (3 см), а катет, соединяющий вершину пирамиды с серединой стороны основания, равен половине стороны, то есть \(3/2 = 1.5\) см.

Теперь применим теорему Пифагора, чтобы определить длину второго катета треугольника. Обозначим его за \(x\):

\[
x^2 + 1.5^2 = 3^2
\]

\[x^2 + 2.25 = 9\]

\[x^2 = 9 - 2.25\]

\[x^2 = 6.75\]

\[x = \sqrt{6.75}\]

Таким образом, второй катет равен \(\sqrt{6.75}\approx2.6\) см.

Теперь мы можем найти длину основания пирамиды, сложив два катета:

\(2.6 + 1.5 = 4.1\) см.

Так как основание пирамиды - равнобедренный треугольник, радиус окружности, вписанной в основание, будет равен половине длины основания. Следовательно, радиус окружности составляет \(4.1 / 2 = 2.05\) см.

Теперь перейдем к вычислению площадей боковой поверхности и полной поверхности пирамиды.

Для площади боковой поверхности нам понадобится площадь одной боковой грани пирамиды. Мы можем разделить пирамиду на 4 равных треугольника: один треугольник с основанием, равным стороне основания пирамиды, и два прямоугольных треугольника с катетами, равными высоте пирамиды и радиусу окружности.

Площадь прямоугольного треугольника равна:

\[
\frac{1}{2} \cdot \text{катет1} \cdot \text{катет2} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2.6 = 5.2
\]

Таким образом, площадь одной боковой грани равна 5.2 квадратных сантиметров. У пирамиды четыре боковые грани, поэтому площадь боковой поверхности будет:

\(4 \cdot 5.2 = 20.8\) квадратных сантиметров.

Для вычисления полной поверхности пирамиды нужно добавить площадь основания пирамиды к площади боковой поверхности. Поскольку основание пирамиды - равносторонний треугольник, площадь основания можно найти с помощью формулы:

\[
\text{Площадь основания} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \text{сторона}^2
\]

Подставим данные:

\[
\text{Площадь основания} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 4.1^2
\]

Вычислим:

\[
\text{Площадь основания} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 16.81 \approx 7.28
\]

Теперь суммируем площадь основания и площадь боковой поверхности, чтобы найти полную поверхность:

\[
\text{Полная поверхность} = 7.28 + 20.8 \approx 28.08 \text{ квадратных сантиметров}
\]

Итак, радиус окружности, вписанной в основание правильной четырехугольной пирамиды, равен 2.05 см. Площадь боковой поверхности пирамиды составляет 20.8 квадратных сантиметров, а полная поверхность равна приблизительно 28.08 квадратных сантиметра.