Каков радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, если его гипотенуза равна 4 см, а один из острых углов

Zvezdopad_Shaman

20

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами вписанной окружности прямоугольного треугольника. Сначала нам нужно понять, как связаны радиус вписанной окружности и стороны треугольника.

Одно из свойств вписанной окружности заключается в том, что касательные, проведенные от точек касания окружности с сторонами треугольника, равны по длине. В нашем случае, пусть точка касания окружности с гипотенузой будет точкой \(M\). Тогда от точки \(M\) проведем касательные к окружности, касаясь ее в точках \(A\) и \(B\), где \(A\) находится на катете, а \(B\) на гипотенузе. Также обозначим радиус вписанной окружности через \(r\).

Так как касательные равны, имеем:

\[AM = BM = r\]

Теперь мы можем использовать свойства прямоугольного треугольника. Заметим, что треугольник \(AMB\) является прямоугольным, так как углы \(AMB\) и \(AMB\) образуются перпендикулярными касательными и радиусом, проведенным к точке касания. Значит, угол \(AMB\) также равен 90°.

Теперь мы можем использовать известные данные для нахождения сторон треугольника \(AMB\). Угол \(AMB\) равен 90°, а угол \(AMB\) равен 60°. Так как сумма углов треугольника равна 180°, то угол \(BAM\) составляет 30°.

Теперь мы можем использовать свойство тригонометрии в прямоугольных треугольниках. В треугольнике \(AMB\) отношение длины стороны, противолежащей углу \(BAM\), к длине гипотенузы равно тангенсу угла \(BAM\). Имеем:

\[\tan(BAM) = \frac{AM}{BM} = \frac{r}{4}\]

Так как тангенс 30° равен \(\frac{\sqrt{3}}{3}\), то:

\[\frac{r}{4} = \frac{\sqrt{3}}{3}\]

Теперь мы можем найти радиус вписанной окружности, умножив обе части уравнения на 4:

\[r = \frac{4\sqrt{3}}{3}\]

Таким образом, радиус окружности, вписанной в данный прямоугольный треугольник, равен \(\frac{4\sqrt{3}}{3}\) см.