Каков радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, если его гипотенуза равна 4 см, а один из острых углов

  • 15
Каков радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, если его гипотенуза равна 4 см, а один из острых углов составляет 60°?
Zvezdopad_Shaman
20
Для решения этой задачи воспользуемся свойствами вписанной окружности прямоугольного треугольника. Сначала нам нужно понять, как связаны радиус вписанной окружности и стороны треугольника.

Одно из свойств вписанной окружности заключается в том, что касательные, проведенные от точек касания окружности с сторонами треугольника, равны по длине. В нашем случае, пусть точка касания окружности с гипотенузой будет точкой M. Тогда от точки M проведем касательные к окружности, касаясь ее в точках A и B, где A находится на катете, а B на гипотенузе. Также обозначим радиус вписанной окружности через r.

Так как касательные равны, имеем:

AM=BM=r

Теперь мы можем использовать свойства прямоугольного треугольника. Заметим, что треугольник AMB является прямоугольным, так как углы AMB и AMB образуются перпендикулярными касательными и радиусом, проведенным к точке касания. Значит, угол AMB также равен 90°.

Теперь мы можем использовать известные данные для нахождения сторон треугольника AMB. Угол AMB равен 90°, а угол AMB равен 60°. Так как сумма углов треугольника равна 180°, то угол BAM составляет 30°.

Теперь мы можем использовать свойство тригонометрии в прямоугольных треугольниках. В треугольнике AMB отношение длины стороны, противолежащей углу BAM, к длине гипотенузы равно тангенсу угла BAM. Имеем:

tan(BAM)=AMBM=r4

Так как тангенс 30° равен 33, то:

r4=33

Теперь мы можем найти радиус вписанной окружности, умножив обе части уравнения на 4:

r=433

Таким образом, радиус окружности, вписанной в данный прямоугольный треугольник, равен 433 см.