Каков радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, если его гипотенуза равна 4 см, а один из острых углов
Каков радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, если его гипотенуза равна 4 см, а один из острых углов составляет 60°?
Zvezdopad_Shaman 20
Для решения этой задачи воспользуемся свойствами вписанной окружности прямоугольного треугольника. Сначала нам нужно понять, как связаны радиус вписанной окружности и стороны треугольника.Одно из свойств вписанной окружности заключается в том, что касательные, проведенные от точек касания окружности с сторонами треугольника, равны по длине. В нашем случае, пусть точка касания окружности с гипотенузой будет точкой
Так как касательные равны, имеем:
Теперь мы можем использовать свойства прямоугольного треугольника. Заметим, что треугольник
Теперь мы можем использовать известные данные для нахождения сторон треугольника
Теперь мы можем использовать свойство тригонометрии в прямоугольных треугольниках. В треугольнике
Так как тангенс 30° равен
Теперь мы можем найти радиус вписанной окружности, умножив обе части уравнения на 4:
Таким образом, радиус окружности, вписанной в данный прямоугольный треугольник, равен