Каков радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник с основанием длиной 8 см и высотой, проведенной

Родион

21

Для решения данной задачи мы можем воспользоваться свойством равнобедренных треугольников и формулой для расчета площади треугольника.

1. Равнобедренный треугольник имеет две равные стороны. В нашем случае, основание треугольника равно 8 см.

2. Высота, проведенная к основанию треугольника, является биссектрисой угла между равными сторонами. Биссектриса делит основание на две равные части.

3. Пусть радиус окружности, вписанной в треугольник, равен \(r\). Тогда мы можем провести отрезок от вершины треугольника до центра окружности, который перпендикулярен к основанию треугольника. Это будет также являться высотой треугольника.

4. Далее давайте рассмотрим верхнюю часть треугольника, образованную радиусом окружности и биссектрисой угла. Она представляет собой прямоугольный треугольник, где один катет равен половине основания треугольника, то есть 4 см (половина от 8 см), а другой катет равен радиусу окружности \(r\).

5. Используем теорему Пифагора, чтобы найти значение радиуса. Так как прямоугольный треугольник, образованный радиусом окружности и биссектрисой, будет иметь катеты длиной 4 и \(r\), а гипотенуза будет равна высоте, которую мы не знаем, обозначим её через \(h\).

6. Таким образом, применяя теорему Пифагора, получим следующее уравнение:
\[4^2 + r^2 = h^2\]

7. Также мы знаем, что площадь треугольника равна полупроизведению стороны и соответствующей ей высоты. В нашем случае:
\[S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot h\]

8. Подставим значение площади и найдем \(h\):
\[\frac{1}{2} \cdot 8 \cdot h = \text{площадь треугольника}\]

9. Решим полученное уравнение и найдем значение \(h\).

10. Используя найденное значение \(h\), подставим его в уравнение из пункта 6 для вычисления радиуса \(r\).

Таким образом, мы сможем вычислить радиус окружности, вписанной в данный равнобедренный треугольник. Если вам нужно, могу подробнее объяснить каждый шаг.