Яка довжина відрізків do і ob, якщо точка o - перетин діагоналей трапеції abcd з основами ab і cd, а також відомо

Sumasshedshiy_Kot

61

Решение:

1. Обозначим длину отрезков \(AO = DO = a\) и \(BO = CO = b\), где точка \(O\) - точка пересечения диагоналей.

2. Рассмотрим треугольники \(AOD\) и \(BCO\). В данных треугольниках сторона \(AD\) параллельна стороне \(BC\) (так как они являются диагоналями в трапеции), следовательно, по теореме Талеса:

\[\frac{a}{b} = \frac{AD}{BC}\]

3. Так как \(AD = DC\) (в трапеции соседние стороны равны), то:

\[\frac{a}{b} = \frac{DC}{BC}\]

4. Также, \(BC = AB - AC\). Подставим известные значения:

\[\frac{a}{b} = \frac{10}{15 - b}\]

5. Учитывая, что \(15 - b = a\), получаем:

\[\frac{a}{b} = \frac{10}{a}\]

6. Отсюда получаем уравнение:

\[a^2 = 10b\]

7. Теперь рассмотрим треугольник \(BOD\). Применим теорему Пифагора:

\[a^2 + b^2 = BD^2\]

8. Подставляем \(a^2 = 10b\) в уравнение:

\[10b + b^2 = 400\]

9. Получаем квадратное уравнение:

\[b^2 + 10b - 400 = 0\]

10. Решая это уравнение, находим два корня: \(b = 20\) и \(b = -30\). Так как длины отрезков не могут быть отрицательными, то \(b = 20\).

11. Подставляем \(b = 20\) в уравнение \(a^2 = 10b\), получаем \(a = 10\).

Ответ:
Длина отрезков \(AO\) и \(DO\) равна 10 см, а длина отрезков \(BO\) и \(CO\) равна 20 см.