Каков радиус окружности, вписанной в трапецию с высотой

Podsolnuh

31

Чтобы решить задачу, мы можем использовать свойство окружностей, вписанных в трапеции.

Возьмем трапецию ABCD с высотой h. Известно, что окружность, вписанная в такую трапецию, касается всех ее сторон. Обозначим точки касания окружности с боковыми сторонами трапеции как E и F.

Теперь обратимся к геометрическим свойствам окружностей: если из одной точки на окружности провести касательные к ней, они будут равны по длине.

Рассмотрим сторону AB трапеции. Проведем касательные к вписанной окружности из точек Е и F. Обозначим точки касания касательных с стороной AB как P и Q соответственно. Теперь мы получили два треугольника APF и BEQ, в которых AP = PF и BQ = EQ.

Также известно, что AP + BQ = AB. В нашем случае это равенство будет выглядеть так: AP + BQ = a + b, где а - это основания трапеции.

Теперь применим теорему Пифагора к треугольнику АРQ:
\[AR^2 = AP^2 + PQ^2\]

Также применим теорему Пифагора к треугольнику BRQ:
\[BR^2 = BQ^2 + PQ^2\]

Из данных равенств мы можем получить следующее уравнение:
\[AR^2 - BR^2 = AP^2 - BQ^2\]

Используя равенства AP = PF и BQ = EQ, мы можем переписать это уравнение следующим образом:
\[AR^2 - BR^2 = PF^2 - EQ^2\]

Учитывая, что радиус окружности равен половине длины диаметра, мы можем записать следующие равенства:
\[AR = BR = r, PF = EQ = r\]

Подставляя эти значения, мы получим уравнение:
\[r^2 - r^2 = r^2 - r^2\]

Это уравнение верно, что означает, что радиус окружности, вписанной в трапецию, равен r.

Таким образом, ответ: радиус окружности, вписанной в трапецию с высотой h, равен h.