Каков радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, если известно, что длина стороны AC равна 32, стороны BC равна

Мистер_7286

31

Для решения этой задачи нам понадобятся некоторые свойства вписанных окружностей и треугольников. Вписанная окружность в треугольник касается каждой из его сторон в её средней точке. Также, вписанная окружность ортогональна каждой из сторон треугольника в её средней точке. Эти свойства помогут нам найти радиус вписанной окружности.

Давайте рассмотрим треугольник ABC. Нам известны его стороны AC и BC, а также угол C. Длина стороны AC равна 32, длина стороны BC равна 60, и угол C равен 90 градусов.

Нам нужно найти радиус окружности, которая вписана в треугольник ABC. Обозначим радиус этой окружности как r.

Из свойства ортогональности вписанной окружности и сторон треугольника, мы можем заключить, что радиус вписанной окружности является высотой треугольника, опущенной на гипотенузу (сторону BC). Поэтому, нам нужно найти высоту треугольника ABC, опущенную на сторону BC.

Давайте воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника ABC. Мы знаем, что угол C равен 90 градусов, поэтому треугольник ABC является прямоугольным треугольником.

Применим теорему Пифагора:
\[AC^2 = AB^2 + BC^2\]

Зная значения сторон треугольника AC (32) и BC (60), мы можем подставить их в формулу:
\[32^2 = AB^2 + 60^2\]

Упростим это уравнение:
\[1024 = AB^2 + 3600\]

Вычтем 3600 из обеих сторон уравнения:
\[1024 - 3600 = AB^2\]
\[-2576 = AB^2\]

Поскольку длина стороны не может быть отрицательной, мы можем сделать вывод, что сторона AB равна 0.

Теперь, обратимся к свойству о срединной перпендикуляре вписанной окружности. Срединная перпендикуляра для стороны треугольника проходит через центр вписанной окружности. Так как AB равно 0, это означает, что центр окружности находится на серединном перпендикуляре стороны BC.

Серединный перпендикуляр для стороны BC - это отрезок, который проходит через середину стороны BC перпендикулярно ей. Найдем середину стороны BC. Для этого нужно найти половину длины стороны BC:
\[BC_{midpoint} = \frac{BC}{2} = \frac{60}{2} = 30\]

Теперь, поскольку окружность находится на серединном перпендикуляре стороны BC, мы можем сделать вывод, что расстояние от центра окружности до стороны BC равно 30.

Таким образом, радиус вписанной окружности равен 30.
Окружность, опирающаяся на точки A, B и C, и tangent lines образуют треугольник ABC.