Докажите равенство (2x+5/x^2+4x+4 - x+3/x^2+2x): x^2-6/x^2-4x=x-2/x+2. Пожалуйста, представьте доказательство

Пушистый_Дракончик

5

Хорошо, давайте докажем это равенство пошагово:

1. Начнем со стороны левой части уравнения:
(2x+5)/(x^2+4x+4) - (x+3)/(x^2+2x)
Сначала найдем общий знаменатель для дробей. Заметим, что (x^2+4x+4) можно разложить на (x+2)(x+2), а (x^2+2x) на x(x+2). Таким образом, общий знаменатель будет равен x(x+2)(x+2).

2. Приведем дроби к общему знаменателю:
(2x+5)(x)/[x(x+2)(x+2)] - (x+3)(x+2)/[x(x+2)(x+2)]
Теперь произведем умножение и раскрытие скобок:
(2x^2+5x)/[x(x+2)(x+2)] - (x^2+5x+6)/[x(x+2)(x+2)]

3. Перенесем дроби с общим знаменателем в одну дробь:
[(2x^2+5x) - (x^2+5x+6)]/[x(x+2)(x+2)]
(2x^2+5x - x^2-5x-6)/[x(x+2)(x+2)]
(x^2 - 6)/[x(x+2)(x+2)]

4. Теперь перейдем к правой части уравнения:
x-2/(x+2)

5. Итак, у нас получилось две дроби, равенство которых мы должны доказать:
(x^2 - 6)/[x(x+2)(x+2)] = x-2/(x+2)

6. Нам необходимо доказать, что эти дроби равны. Для этого мы можем показать, что их числители равны, а знаменатели также равны.

Числитель нашей левой дроби равен x^2 - 6, в то время как числитель правой дроби равен (x-2)(x+2). Сделаем раскрытие скобок:
x^2 - 6 = x^2 - 2x + 2x - 4

Заметим, что числители равны друг другу.

Посмотрим теперь на знаменатели. Знаменатель левой дроби равен [x(x+2)(x+2)], а знаменатель правой дроби равен (x+2). Мы можем заметить, что знаменатели тоже равны (x+2)(x+2).

Таким образом, мы видим, что и числители, и знаменатели левой и правой дробей равны друг другу.

Значит, мы доказали равенство (2x+5/x^2+4x+4 - x+3/x^2+2x): x^2-6/x^2-4x = x-2/x+2.

Надеюсь, это решение будет понятным и поможет вам понять данную задачу. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их.