Каков радиус окружности, вписанной в треугольник со стороной 18 см, и радиус окружности, описанной вокруг треугольника?

Скользящий_Тигр

30

Хорошо, давайте решим эту задачу по шагам.

1. Для начала, давайте определимся с терминами. Вписанная окружность - это окружность, которая касается всех трёх сторон треугольника, а описанная окружность – это окружность, которая проходит через вершины треугольника.

2. Давайте рассмотрим треугольник, со стороной 18 см. Пусть стороны треугольника будут a, b и c. В данном случае, все стороны равны 18 см, поэтому a = b = c = 18 см.

3. Теперь обратимся к вписанной окружности. Радиус вписанной окружности обозначим как r1. Известно, что р1 - это расстояние от центра окружности до любой стороны треугольника.

4. Вооружившись этими знаниями, посмотрим на внутренний радиус вписанной окружности. Рассмотрим одну из сторон треугольника, например, сторону a. Также обозначим точку касания вписанной окружности со стороной a как точку A.

5. Радиус r1 перпендикулярен касательной стороне треугольника в точке A. Следовательно, отрезок r1 является высотой прямоугольного треугольника, образованного стороной треугольника и радиусом r1.

6. Для удобства, можно построить такой треугольник и обратиться к свойствам прямоугольного треугольника. Известно, что высота прямоугольного треугольника - это геометрическое среднее между отрезками r1 и a.

7. Теперь, рассмотрим треугольник с основанием a и высотой r1. Пользуясь формулой для площади прямоугольника, можем записать следующее уравнение: \(S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot r1\), где S - это площадь треугольника.

8. Но также известно, что площадь треугольника S можно выразить через его стороны a, b и c с помощью формулы Герона: \(S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\), где p - полупериметр треугольника.

9. Полупериметр p можно выразить через стороны a, b и c следующим образом: \(p = \frac{a + b + c}{2}\).

10. Подставим данные в уравнение и получим \(S = \sqrt{\frac{a + b + c}{2}\left(\frac{a+b+c}{2}-a\right)\left(\frac{a+b+c}{2}-b\right)\left(\frac{a+b+c}{2}-c\right)}\).

11. Упростим это уравнение и найдем значение S.

12. Теперь, имея площадь треугольника, мы можем найти значение высоты r1, используя уравнение \(S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot r1\).

13. Выразим r1 и получим \(r1 = \frac{2S}{a}\).

14. После всех этих вычислений, мы найдем значение радиуса вписанной окружности r1.

15. Теперь перейдем к описанной окружности. Радиус описанной окружности обозначим как r2. Известно, что r2 равен расстоянию от центра окружности до вершины треугольника.

16. Для вычисления r2, снова воспользуемся основанным на свойствах треугольника с углом в 90 градусов, который имеет основание равное a и высоту равную r2.

17. Применим формулу площади прямоугольника \(S = a \cdot r2\), чтобы найти r2.

18. Опишем его, чтобы найти радиус описанной окружности.

Теперь у нас есть все необходимые шаги для решения задачи. Необходимо только подставить значения в вычисления и получить ответ.