Яка ємність конуса, якщо твірна дорівнює 4 і промінь кола, що описується навколо осьового перерізу конуса, також

Plamennyy_Kapitan

23

Щоб знайти ємність конуса, нам знадобиться використати формулу для об"єму конуса. Формула об"єму конуса виглядає наступним чином:

\[V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\]

де \(V\) - об"єм конуса, \(\pi\) - число пі (приблизно 3.14), \(r\) - радіус осьового перерізу конуса, і \(h\) - висота конуса.

Зауважте, що твірна (відстань від вершини до осьового перерізу) дорівнює половині висоти конуса. Це означає, що \(h = 2r\).

Задача зазначає, що твірна конуса дорівнює 4. Отже, твірна \(l = 4\).

Знаючи це, ми можемо замінити значення твірної в формулі об"єму конуса:

\[V = \frac{1}{3} \pi r^2 (2r)\]

Скористаємося додатковою інформацією, що промінь кола, що описується навколо осьового перерізу конуса, також дорівнює \(r\).

Тепер ми можемо знайти значення радіуса \(r\). Якщо промінь кола дорівнює \(r\), формула для обчислення довжини кола навколо осьового перерізу конуса має вигляд:

\[C = 2\pi r\]

В задачі не наведено значення довжини кола, тому ми не можемо безпосередньо знайти радіус \(r\). В такому випадку, ми можемо скористатися твердженням, що відстань від вершини конуса до осьового перерізу є телилом радіуса кола і довжини кола навколо нього.

Отже, ми знаємо, що \(l = \frac{C}{2}\). Підставимо це значення для \(l\) у вираз \(V = \frac{1}{3} \pi r^2 (2r)\):

\[4 = \frac{1}{3} \pi r^2 (2r)\]

Тепер ми можемо розв"язати це рівняння для знаходження значення радіуса \(r\):

\[4 = \frac{2}{3} \pi r^3\]

Для спрощення обчислень, помножимо обидві частини рівняння на \(\frac{3}{2}\):

\[6 = \pi r^3\]

Щоб знайти значення радіуса, розділимо обидві частини рівняння на \(\pi\):

\[\frac{6}{\pi} = r^3\]

Далі, щоб знайти значення радіуса, вставимо це рівняння під корінь третього степеня:

\[r = \sqrt[3]{\frac{6}{\pi}}\]

Оскільки \(\pi\) є наближеним значенням, ми можемо вставити його оцінку \(3.14\) для ще більш точного розрахунку.

\[r \approx \sqrt[3]{\frac{6}{3.14}}\]

\[r \approx \sqrt[3]{1.91}\]

\[r \approx 1.22\]

Тепер, ми знаємо значення радіуса \(r\), і ми можемо обчислити ємність конуса за формулою:

\[V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\]

Підставимо відповідні значення:

\[V = \frac{1}{3} \pi \cdot (1.22)^2 \cdot (2 \cdot 1.22)\]

Виконавши обчислення, отримуємо:

\[V \approx 1.79\]

Тому, ємність конуса становить приблизно 1.79 кубічних одиниць.