Каков радиус основания и высота конуса, если развертка его боковой поверхности представляет собой сектор с радиусом

Максим

38

Чтобы найти радиус основания и высоту конуса, нам нужно использовать развертку его боковой поверхности - сектор с радиусом 4 м и углом дуги 90 градусов.

По определению развертки, длина боковой поверхности конуса равняется длине дуги окружности, которая является основанием конуса.

Длина дуги окружности может быть рассчитана по формуле \(L = r \cdot \theta\), где \(L\) - длина дуги, \(r\) - радиус окружности, \(\theta\) - угол дуги в радианах.

В данном случае, у нас есть радиус равный 4 м и угол дуги равный 90 градусам. Чтобы перевести угол из градусов в радианы, нужно умножить его на коэффициент перевода \(\frac{\pi}{180}\). Таким образом, угол в радианах будет равен:

\[\theta = 90 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{2}\]

Подставляя значения радиуса и угла в формулу для длины дуги, получаем:

\[L = 4 \cdot \frac{\pi}{2} = 2\pi\]

Так как длина дуги окружности равна основанию конуса, то радиус основания конуса равен 2 м, так как длина дуги равна \(2\pi\).

Чтобы найти высоту конуса, нужно воспользоваться теоремой Пифагора. В прямоугольном треугольнике, составленном из радиуса окружности (полуоснования) и высоты конуса, гипотенуза является образованной дугой окружности.

По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

\[(2r)^2 = r^2 + h^2\]

Раскрывая скобки, получим:

\[4r^2 = r^2 + h^2\]

Вычитая \(r^2\) из обеих частей, получим:

\[3r^2 = h^2\]

Из этого уравнения можно найти высоту конуса:

\[h = \sqrt{3r^2}\]

Подставляя значение радиуса, найденное ранее, получаем:

\[h = \sqrt{3 \cdot (2^2)} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\]

Таким образом, радиус основания конуса равен 2 м, а высота равна \(2\sqrt{3}\) м.