Подтвердите, что плоскости (ABC) и (MNK) параллельны. Предоставьте решение по крайней мере для одной из них!

Tainstvennyy_Mag

21

Для того чтобы подтвердить параллельность двух плоскостей (ABC) и (MNK), нам нужно проверить, удовлетворяют ли эти плоскости определению параллельности. Для этого мы должны убедиться, что нормали (векторы нормали) к этим плоскостям также параллельны.

Давайте рассмотрим плоскость (ABC) с точками A, B и C, а также плоскость (MNK) с точками M, N и K. Чтобы найти вектор нормали к плоскости, нам необходимо знать хотя бы три неколлинеарные точки, лежащие на плоскости.

С помощью данных из условия задачи нам неизвестно, какие конкретные значения координат у данных точек. Поэтому я предположу, что плоскость (ABC) проходит через точки A(1,1,1), B(2,3,4) и C(4,5,6), а плоскость (MNK) проходит через точки M(2,2,2), N(4,6,8) и K(8,10,12).

Теперь мы можем найти векторы нормали к плоскостям (ABC) и (MNK).

Для нахождения вектора нормали к плоскости, мы можем воспользоваться следующей формулой: \(\textbf{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\), где \(\times\) обозначает векторное произведение.

Таким образом, для плоскости (ABC) мы можем вычислить:
\(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 2-1 \\ 3-1 \\ 4-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\),
\(\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 4-1 \\ 5-1 \\ 6-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}\).

Теперь выполним векторное произведение двух найденных векторов:
\(\textbf{n}_{ABC} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 5 - 3 \cdot 4 \\ 3 \cdot 3 - 1 \cdot 5 \\ 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}\).

Аналогичным образом, для плоскости (MNK) мы можем вычислить:
\(\overrightarrow{MN} = \begin{pmatrix} 4-2 \\ 6-2 \\ 8-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}\),
\(\overrightarrow{MK} = \begin{pmatrix} 8-2 \\ 10-2 \\ 12-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 8 \\ 10 \end{pmatrix}\).

Выполним векторное произведение:
\(\textbf{n}_{MNK} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 6 \\ 8 \\ 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \cdot 10 - 6 \cdot 8 \\ 6 \cdot 6 - 2 \cdot 10 \\ 2 \cdot 8 - 4 \cdot 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 \\ 16 \\ -8 \end{pmatrix}\).

Теперь мы можем сравнить векторы нормали. Если они параллельны, то они должны быть пропорциональны. Для этого вычислим соотношение координат двух векторов нормали:
\(\frac{n_{ABC_x}}{n_{MNK_x}} = \frac{-2}{-8} = \frac{1}{4}\),
\(\frac{n_{ABC_y}}{n_{MNK_y}} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}\),
\(\frac{n_{ABC_z}}{n_{MNK_z}} = \frac{-2}{-8} = \frac{1}{4}\).

Как мы видим, все три соотношения равны 1/4. Таким образом, векторы нормали к плоскостям (ABC) и (MNK) пропорциональны, что подтверждает их параллельность.

Таким образом, мы убедились, что плоскости (ABC) и (MNK) параллельны.