Каков радиус сечения шара плоскостью, находящейся на расстоянии 12 от центра шара с радиусом?

Zvezdopad_Na_Gorizonte

17

Чтобы определить радиус сечения шара плоскостью, находящейся на расстоянии 12 от его центра, нам понадобятся некоторые геометрические знания. Давайте рассмотрим эту задачу более подробно.

Представим, что у нас есть шар с радиусом \( R \) и центром \( O \). Мы создаем плоскость, параллельную основанию шара, и располагаем ее на расстоянии 12 от центра шара. Обозначим точку на плоскости как \( P \).

Так как плоскость параллельна основанию шара, то она будет пересекать шар по окружности. Наши задачи - определить радиус этой окружности.

Для начала, нарисуем прямую линию, соединяющую центр шара \( O \) и точку на плоскости \( P \). Давайте обозначим середину этой линии как \( M \). Таким образом, у нас будет треугольник \( OMP \).

Теперь посмотрим на треугольник \( OMP \). У нас есть следующая информация:

- Радиус шара \( R \).
- Расстояние от центра шара до плоскости \( OP = 12 \).
- Расстояние от центра шара до точки пересечения плоскости с окружностью - это и есть радиус сечения шара, который мы хотим найти. Обозначим его как \( r \).

Так как \( OM \) - это половина \\( OP \), то \( OM = 6 \). Также, у нас имеется прямоугольный треугольник \( OMP \), в котором \( OM \) и \( OP \) - это катеты, а \( MP \) - гипотенуза.

Используя теорему Пифагора в треугольнике \( OMP \), мы можем записать:

\[ OM^2 + MP^2 = OP^2 \]

Подставляя значения, получаем:

\[ 6^2 + r^2 = 12^2 \]

\[ 36 + r^2 = 144 \]

\[ r^2 = 144 - 36 \]

\[ r^2 = 108 \]

Теперь возьмем квадратный корень от обеих частей уравнения, чтобы найти \( r \):

\[ r = \sqrt{108} \]

\[ r = 6\sqrt{3} \]

Таким образом, радиус сечения шара плоскостью, находящейся на расстоянии 12 от центра шара с радиусом, равен \( 6\sqrt{3} \).